用向量法证明_用向量法证明垂直

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用向量法证明

步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤3.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)