向量与点到直线的距离公式的证明_向量法求点到直线距离

向量与点到直线的距离公式的证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“向量法求点到直线距离”。

向量与点到直线的距离公式的证明

安金龙

（苏州工业园区

这样处理，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。当然，解析几何作为一个内涵丰富的数学分支，它和其它数学知识也会有密切的联系，下面笔者列举另外几种推导方法： 2用习题结论巧推点到直线距离公式

老教材代数课本（人教版，下册.必修）第15页习题十五第6题：

已知：

ad,求证：（bc

（a)

2b2)c(d当cad,b即c，a)bd

ab

时，有（a2b2（）c2d2)（acbd)2.cd

上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明.故略去。下面给出点到直线的距离公式的最简推导。

已知点P(x0,y0)和直线l:AxByC0,则点到直线的距离即为点P到直线l上任意点所连结的线段中的最短线段.设M

x,y为直线l上任意一点，点P到直线l的距离为d，则：

(AxAx0)2(ByBy0)2

PMPM22

AB2

(ByBy0)222222(AxAx0)(AB)PM(AB)[] 22

AB

(AxAx0ByBy0)2＝(Ax0By0

C)2

AB

dPMmin，当且仅当时等号成立。

xx0yy03用直线的参数方程推导点到直线距离公式

证明：当AB0时易验证公式成立，下证AB0时的情形：

（1）B>0时,过点P作直线L的垂线，垂足为H，则直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）

yyt0



将直线PH的参数方程代入直线L的方程得：

A（x0t+B（y0tx，解之得点H

对应的参数t

C0

PHdPH

（2）当B时，直线PH的标准参数方程为：



xxt0(t为参数）



yyt0



可得PH



dPH

4构造引理推导点到直线距离公式

引理：如图1，直角三角形MPN中，MPN90，MPa,NPb,则点P到直线MN的距离d满足



a 图

1N

.222

dab

证明：由直角三角形的面积公式得：

MPNPMNd，22

11111即ab，所以222.d，即

dab2dab

下面就用引理证明点Px0,y0到直线l：AxByC0的距d

证明：当0时易证公式成立.当AB0时，如图2所示,过点

Px0,y0分别作平行于x轴,y轴的两条直线,分别交直线l：AxByC0

ByCAxC于点M(-,y0)、N(x0,-)，则AB

B0yC

MP0,AAxC

NPy00.MPNP,在RTMPN中，B

点P到直线MN的距离d满足：

1111

1＝22

222dMPNP(x00)(y

00)BA2B2,所以d ＝2(Ax0By0C)

参考文献：

[1] 全日制普通高级中学教科书（人教版）（试验修订本.必修）第二册（上）第55～56页.[2] 王国平.中学生数学.用习题结论巧推点线距离公式2001年1月上 [3] 张乃贵、段萍中学生数学.点到直线的距离公式的又一证明.2001年1月上

[4] 陈志新.点到直线距离公式的又一证法.中学生数学.2001年6月上

离为

：