不等式、推理证明测试题_不等式的证明测试题

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高三第五次月考数学（文）试题

命题人：王建设

一、选择题（每题5分）1.不等式

x

10的解集为（）2x

A.{x|1x2} B.{x|1x2} C.{x|x1或x2} D.{x|x1或x2}

2、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3、下面几种推理是类比推理的是（）A..两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=1800

B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

C.某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员.D.一切偶数都能被2整除，2100

是偶数，所以2

能被2整除.4、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

②①

„

③

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）

A．6n2B．8n

2C．6n2D．8n2

5.两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（）

A．B．1C．2D．

32x2y

4

6.在约束条件xy1下，目标函数z3xy（）

x20

A.有最大值

3，最小值3B.有最大值

5，最小值3 C.有最大值5，最小值9D.有最大值3，最小值9 7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是………………………………………（）A．10πB．11πC．12πD．13

238、在十进制中2004410010010210，那么

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.2004 9.如果a0且a1，Mloga(a31),Nloga(a21)，则（）

A.MNB.MN C.MND.M,N的大小与a值有关

10.已知正数a,b满足4ab30，则使得（）

1取得最小值的有序实数对(a,b)是ab

A.(5,10)B.(6,6)C.(7,2)D.(10,5)

11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为450，腰和上底均为

1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A．22B．

122

2C．D．12 22

12.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）

R3B．

R3C．

R3D．

R3248248

112,q()x2，其中a2,xR，则p,q的大小关系为（）a22

A．

13.已知pa

A.pqB.pqCpq.D.pq 14.若实数x,y满足

1，则x22y2有（）22xy

A.最大值322B.最小值322C.最小值6D.最小值615.函数f(x)

x的最大值为（）x1

212A.B.C.D.1 522

16.若x1,x2是方程xax80的两相异实根，则有（）A.|x1|2,|x2|2B.|x1|3,|x2|

3C.|x1x2|

D.|x1||x2|17.在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A

．

B

．C．

4D

．

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

n1 ab，所以(a21)(b21)6

a2b28，∴(ab)2a22abb282ab8a2b216 12b的等比中项，且ab0，则18.若a是12b与

2|ab|的最大值为（）

|a|2|b|

A.25252

B.C.D.15452

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.19．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O20.设某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为4

．

21、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●„若

将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是14。

22、设平面内有ｎ条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同

一点．若用f(n)表示这ｎ条直线交点的个数，则当ｎ＞４时，fn＝

（用含n的数学表达式表示）。

23、已知1xy1,1xy3，则3xy的取值范围是1,7 24.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于4R220

三、解答题：

25、（12分）求证：(1)6+7>22+5;(2)a2b23abab);

（3）若a,b,c均为实数，且ax2x

，by2y

，cz2z



求证：a，b，c中至少有一个大于0。

（8分）如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，00

AB

5，CDAD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积ACAE

27．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则 ＝BCBE

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD

－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的正确结论是（Ⅱ）证明你所得到的结论.A G

E

B

B HC

图

1图

2C

A 11

28.设函数f(x)x33bx23cx有两个极值点x1,x2，且x11,0,x21,2.（1）求b,c满足的约束条件，并在坐标平面内画出满足这些条件的点（b,c）的区域；

（2）求证：10f(x2).答案：

25、证明：（2）∵a2b22ab,（1）要证原不等式成立，a23,只需证（+）2>（22+5）2，b23;即证242240。

将此三式相加得∵上式显然成立,2(a2b23)2ab,∴原不等式成立.∴a2b23abab).．(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ22

2而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2z＋）＋（z－2x＋

236

222222

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.26．解：S表面S圆台底面S圆台侧面S圆锥侧面

52(25)

21)

V

1(r12r1r2r22)hr2h

3V圆台V圆锥

31483

27．结论:

SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

＝ 或＝ 或＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD

－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵ ＝ ＝SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴ SΔBCDBE

A

A GC

B

B HC

图

1图

228、解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）

依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]

等价于f'（-1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0． 由此得b，c满足的约束条件（略）（4分）

满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则2bx2=-x22-c，故 ．f(x2)x233bx223cx2-x23cx2（8

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故-43cf(x2)c． 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，（10分）所以10f(x2).232

1232