解析法证明平面几何经典问题举例_用反证法证明几何问题

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五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2(y-a)2r2,设直线AB的方程为：ymx,直线AD的方程为：ynx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x(y-a)r,消去y得：（1m2)x2-2amxa2-r2{ymx2ama2-r

2由韦达定理知：x1x22;x1x22,m1m12ana2-r2

同理得：x3x42;x3x42, n1n1直线CD方程为：y-y2y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q点横坐标：xQ

同理得P点横坐标：xPx1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明APAQ，只需证明：xQ-xP3223-1441, y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（y4-y1）（-x1y4-x4y1）（y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1x2)y1y2(x3x4)x1y2y4x2y1y3x3y2y4x4y1y3

注意到：y1mx1,y2mx2;y3nx3,y4nx4，代入整理得：

左边m2x1x2(x3x4)n2x3x4(x1x2),右边mn[x1x2(x3x4)x3x4(x1x2)] 把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(mn)2a-r左边m22n22 22m1n1n1m1(m1)(n1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(mn)右边mn(2)m1n21n21m21(m21)(n21)

可见：左边=右边，故xQ-xP，即APAQ.证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】 标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC= r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(arcosθ,rsinθ)、D(-arcos,rsin), 从而得N(cosθcossinθsin,)22

易得：kBCtan,kADtan【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN

sinθsintan;cosθcos2