平行线的证明辅导_平行线的证明培优

2020-02-27 证明下载本文

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平行线的证明

一．知识导学

本节是以一个公理作为基础，从而推出两个定理。

公理：同位角相等，两直线平行。

定理：同旁内角互补，两直线平行。

定理：内错角相等，两直线平行。

以上定理说明，在现阶段，我们证明两条直线平行的方法有三种。

二、例题：

例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。

（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）

分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手。

解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。

（2）理由填错了，应改为：

∵∠１＝∠2，∴CD//AB（内错角相等，两直线平行）

例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？

分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。

解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（对顶角相等）

∴∠1=∠CGE（等量代换）

又∵∠3=∠4（已知）

∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）

即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，两直线平行）。

说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据要在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。

例3．如图写出能使AB//CD成立的各种题设。

分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD。

解：使AB//CD成立的题设有：

（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB

（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。

（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。

例4．已知如图，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。

分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB//CD，所以可知∠1=∠2，又因为∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB与CD平行。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）

又∵∠1=∠3（已知）

∴∠2=∠3（等量代换）

∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。

例5．已知如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD

证明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2=∠3（角平分线定义）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠3（等量代换）

∴AB//CD（内错角相等两直线平行）。

例6．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c

分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同

位角。须证a//c。

法

（一）证明：

∵d是直线（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定义）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

法

（二）证明：

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代换）

∴a//c（同旁内角互补，两直线平行）

说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。

易错分析

1．两条直线平行是两条直线的第二种位置关系，它的定义是用两条直线不相交来定义的。但在空间两条不相交的直线不一定平行，如图中的AB和CD既不相交也不平行，所以平行线的定义中必须说“在同一平面内”这个条件。

2．平行公理是几何学中的一个重要公理，这个公理是说明，经过直线外一点作直线，可以存在一条直线与已知直线平行，并且只有唯一的一条直线与已知直线平行。这是研究平行线的判定和性质的基础，应该熟练地掌握。例如由平行线的公理推出了一个结论“平行于同一直线的两直线平行”也是平行的一个判定方法。在学习习近平行线性质时也要用平行公理来推导。由于经过直线外一点作平行线的“存在性”和“唯一性”,因而解决了平行线作图的可行性和确定性。

3．平行线的判定和平行线的性质要区分开。

平行线的判定讲的是两条直线具备什么条件时，它们互相平行，起的是判定作用。平行线的性质讲的是已知两条直线在互相平行的前提下，图形会具备什么性质。

懂得了如何应用，就可以分清它们的区别。做到对判定及性质:①会文字叙述；②会画图形；③会用数学式子表示；④会用来作题；⑤知道平行线的性质公理和判定公理是互逆的。

例如平行线判定（1）

（1）文字叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。

（2）画出图形（如图）

（3）几何语言：

∵直线AB，CD被EF所截（已知）

∠EMB=∠END（已知）

∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）

（4）会用：当知道了两个同位角相等。就可以判定两条直线是平行的。

又如平行线的性质（1）