勾股定理的证明_对勾股定理的证明

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勾股定理的证明

【证法1】等面积法

做8

个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即 11a2b24abc24ab22222，整理得abc.【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵ RtΔHAE 与 RtΔEBF重合,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵ RtΔGDH 与 RtΔHAE重合,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.2ab∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.∴

ab214abc22222.∴ abc.【证法3】（赵爽证明）

以a、b 为直角边（b>a），以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH 与 RtΔABE重合,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.124abbac

22∴.222∴ abc.【证法4】（1876年美国总统加菲尔德Garfield证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD 与 RtΔCBE重合,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.1ab2

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1ab221ab1c2

22.∴ 2

222∴ abc.