向量积分配律的证明_向量数量积分配律推导

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向量积分配律的证明

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。