立足教材,着眼长远,培养高一学生推理证明的能力(最后稿)_小学生推理能力的培养

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立足教材，着眼长远，培养高一学生推理证明的能力 无锡市立人高中数学名师工作室 214161王华民、阮必胜

1问题的提出

【现象一】市年轻教师教学基本功大赛第一轮解题比赛，有一道源自教材的试题“向量共线定理的证明”，是推理证明题．从答卷反馈：27位选手仅40%的得满分，约40%的得一半分，20%的不得分；错误主要表现在：对教材不熟悉，逻辑关系模糊，出现循环论证．

【现象二】市高一期末检测试题19：已知f(x)=x +(m+1)x—m+2，g(x)=f(x)+2m—2，m是实数．（Ⅰ）求证：f(x)必有零点；(Ⅱ)若m≤1，用定义证明g(x)在[1,+)上为减函数；（Ⅲ）若m≤1，是否存在互不相等的正整数a，b，使g(x)的定义域和值域均为[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，试说明理由．统计显示：某三星级学校得分率仅为16.5%，是试卷中得分率最低的试题．

现象一反映出，在高考应试背景下，有些教师只重视结论的应用（习题训练），而忽视定理的形成过程及证明．从现象二发现：高一学生形式运算能力尤其是推理证明能力较弱．

2.推理证明的重要性与现状

《高中数学课程标准》中指出：数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，要崇尚数学的理性精神．理性精神的基本内涵是：坚持以理性或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准；每个论点都必须持之以理．另外，代数推理题一直是高考的热点题型之一，得分率很低，不少考生望而生畏．

从课标教材分析，初中课标和教材淡化了几何证明的要求，降低了代数运算包括因式分解的要求；从学生现状分析，刚进入高一的学生，已经习惯于初中的直观、感性学习新知，给推理证明的教学带来了一定的困难；高二虽在选修教材中有“推理与证明”一章，但不少学校重视不够；到了高三复习，再来强化多字母和抽象函数的推理综合训练，学生当然难以接受．

因此，在高中数学教学中，加强推理证明的训练具有十分重要的作用．

3推理证明能力的培养

高中推理证明的能力如何培养呢？我们觉得必须从高一开始，充分挖掘教材的资源，用心体会、整合教材中推理证明的“点”；操作时需要低起点、小步子，逐步渗透、分层训练．下面以苏教版数学必修1为例，谈一些做法与体会．

3.1 直接利用定义进行推理证明，使学生树立信心，有助于养成说理有据的思维习惯 案例1 用函数最值的定义进行推理证明教材在出示函数的最大值、最小值定义后，安排了一道例题（第36页例5）：已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a

案例2 在必修1“集合”单元的习题课上，可根据“感受理解6和8”整合成下列问题：1

2已知A={ x | x 2—3x=0}，B={x| a x = 1}，若ABA，求实数a的取值范围．

解析 ∵ABA，∴BA，∵A={0,3}，∴B=或B={0}或B={3}．

（1）若B=，则a=0;(2)若B={0}，综上，a=0或a=111=0矛盾；（3）若B={3}，则=3，∴a=． aa31.3点评 以上推理含有三小段，第一段是根据并集定义，写出子集关系，第二段是根据二元素集合A写出其子集；第三段是对于三种情形的分类讨论、检验，最后是结论．学生已经熟悉了初中简单的几何推理，但对于代数推理尚显陌生，可以在习题课上逐步渗透．

上述两个案例，一个是教材中的例题，一个是整合习题，它们都是从最简单、基本的定义（概念）或定理出发，让学生亲身经历推理证明，不仅让学生熟悉推理的基本套路，树立起推理的信心，而且有助于学生养成说理有根据、思考有条理和表达清晰的良好习惯．

3.2通过代数变形进行推理证明，使学生熟悉推理中的变形手段，有助于严谨思维

案例3用增（减）函数的定义进行代数变形，证明函数的单调性

教材第35页的例2“证明函数f(x)=11在区间(,0)上是单调增函数”，需要用增x

函数的形式化定义证明．一堂校级公开课显示：师生根据定义先作差f(x1)f(x2)，当推理到1111时，有不少学生认为：当x1x20，，∴f(x1)f(x2)，故f(x)在x2x1x2x

11的图x区间(，0）上是单调增函数．如何与学生解释呢？师：这是利用反比例函数y

象性质（在（，0）上单调减），但这只是几何直观说明，而不是代数证明．代数证明讲究思维的逻辑性和严密性，步步有据，不能用图象的直观感知或用图象的性质来代替推理．在这里，代数推理“定号”的依据只能是符号法则：同（异）号相乘得正（负）．讲清了道理，学生理解了，方能产生自觉的行动．因此，师生一同往前再“推”一步：x1x2，才能说x1x

2x1x20，∴x1x2明：∵x1,x2（，0），x1x2，∴x1x20，x1x20，∴f(x1)f(x2)

证明后，师生一道及时归纳小结：1．利用定义验证函数f(x)在给定的区间I上单调性的“五步”：取数→作差→变形→定号→结论；2．明确“五步”的功能，归纳代数变形的常用手段；3.推理证明要严密，书写过程要规范．

点评函数的单调性是必修1教材中一次很好的推理证明的训练素材，通过推理证明，不仅使学生理解推理证明中常用的代数变形手段和定号依据，而且通过纠错、释错，有益于培养学生思维的严谨性．

3.3通过“构造”函数进行推理证明，使学生加深对概念、方法的理解，有助于创新思维

案例4在指数函数性质后的第一道例题：比较下列各组数的大小：（1）1.52.5，1.53.2（2）0.51.2，0.51.5 ． ——

一位教师先给学生思考1分钟，然后引导：（1）的两个值可以看成是哪一个函数的两个不同的值？学生陆续想到：指数函数f(x)=1.5．遂请一位学生回答，师生完善，板书如下：

（1）考察指数函数f(x)=1.5．因为1.5>1，所以f(x)=1.5在R上是增函数，因为2.5

点评这是我校朱光伟老师执教的“指数函数

（一）”公开课的片段，在课后评议中，有位老师建议“比较大小时用图像法更直观，费时少，简单实用”．这个观点，窄看起来挺有道理，但仔细揣摩一下，值得商榷．教材中为何不用图像，而用函数的单调性？教材自有其用意！“形”是为了助“数”，图像法只能帮助学生理解，通过构造函数、利用单调性比较大小，有益于培养学生的理性思维、理性精神，它才是数学教学的本质所在。当然高一学生第一次尝试“构造”有些困难，但从课堂反馈：只要教者放慢节奏，引导得当，高一学生也可以接受．这种构造法必须重点讲，至于图像法不妨作为一题多解，点一下即可．

因“构造法”是培养创新思维的重要途径，教材十分注意这一点，在之后的“对数函数”、“幂函数”的例、习题中，常常借助于比较大小这种简单、熟悉的问题，通过构造函数及单调性来解决，也可以当作构造指数函数的复习内容．在高一“函数与方程”中的一些问题，也是通过构造函数推理完成的．其实，数学推理证明的真谛不仅在于能证明命题的真假，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解．通过若干次“构造法”的推理证明，学生对函数单调性概念、作用等有了更深刻的理解与体会，并有益于学生创新思维的培养．

3.4通过定义转换进行推理证明，使学生构建系统化知识，有助于理性思维

案例5对数运算性质：（1）loga(MN)logaMlogaN；（2）logaM=logaM N

logaN（其中，a>0, a≠1，M>0，N>0）的探究证明．

这是必修1教材对结论的第一个推理证明，难度较大，需要引导好，手中的工具是指数与对数的定义以及指数幂的运算性质．定义是研究问题的出发点，也是推理证明的主要依据． 第一步，探究性质．教师从复习指数式与对数式的互化提出问题：“指数幂运算有性质(1)aa＝amnm+n(2)anamamn，对数运算是否也有类似性质呢？”遂以特殊值探路、猜测出对数的运算性质：见上述(1)、(2)．

第二步：推理证明．教师启发引导：欲证性质（1），需利用指数幂的运算性质，因此，要将对数式转化为指数式，设一个中间量“过渡”．

设logaM＝p，logaN＝q，由对数的定义得：M＝ap，N＝aq，∴MN＝ap·aq＝ap+q． 再由对数定义得loga（MN）＝p＋q，即loga（MN）＝logaM＋logaN．

解题回顾：体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用，第一次是将对数式转化为指数式，第二次是把指数式转化为对数式．

尝试练习：证明性质（2），补充(3)logaM n＝nlogaM(n∈R)，由两人板演，师生一同评价． 点评 以上操作分成两大步，第一步设置一个局部探究的过程，是归纳推理；第二步是证明性质的过程，是演绎推理．在解决问题的过程中，往往需要归纳推理与演绎推理相结合．通过对数运算性质的教学，使学生进一步了解推理证明的操作方法，启发学生对指数、对数有更系统化的理解，并导致发现．张乃达先生说：数学证明包括理性精神的教育价值，只有在学生的探索活动中才能得到整合和发挥．理性思维是有明确的思维方向和充分的思维依据，能对事物或问题进行分析、比较、综合、抽象与概括．可见，对数运算性质的探究证明有助于学生的理性思维．

案例6对数函数y=log a x(a>0, a≠1)两个性质的推理

在2010年江苏省高中数学研讨会上，常州徐伟老师在执教“对数函数

（一）”时，学生从所画的几个对数函数图象上观察得值域为R，徐老师没有就此停止，而是抛出了问题：“是否所有的对数函数都具有这个性质？能说明理由吗？”学生把对数式y=log a x 转化为指数式x=ay，根据指数函数中yR，推理出对数函数的值域也为R．同理可推得过定点（1，0）．

点评 教师引导学生对“对数函数的性质”实施了简单的推理，虽然教材中没有涉及，但它是既作为知识层面（指数式和对数式定义转换）的复习，也作为推理方法层面（对数运算性质方法）的复习，这种推理方法的巩固复习尤为重要．通过推理证明，不仅帮助学生进一步理解对数性质，还使学生构建系统化知识．

3.5注意分层设计，努力为“尖子生”提供更多展示推理证明、演绎精彩的舞台

在高一数学教学中，对于教材上已有的演绎推理点，不可以学生的认知水平跟不上为理由，随意降低要求；对于教材中没有推理要求的，可适当增加一些推理点．但要根据学生的实际，把握适度性原则．面对数学“尖子生”，应该提供更多的展示数学推理证明的舞台，例如在对数函数的复习课上，由教材P69例4和P71探究题12设置一道证明题：设f(x)= | lgx|，当0

立足教材，从高一开始进行简单的推理证明的训练，积累一些常用的推理手段：代数变形（作差、代入、消元、配方、因式分解等），围绕定义转换，尝试“构造”函数等；着眼长远，它既能为高二系统证明和高三抽象推理及综合推理打下坚实的基础，提升学生推理证明的能力，也有助于培养学生求真、严谨、有理、有据的理性精神．

参考文献：

张乃达：数学证明和理性精神——也谈数学证明的教学价值，中学数学，2003，2．

附作者简介：bhwhm@126.com;***

王华民 1962.11，男，江苏无锡，中学高级，无锡市学术、学科、科研带头人，在省级刊物等发表论文60多篇，主编书4本。