推理与证明小结复习_2推理与证明复习小结

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推理与证明复习

一、基础知识

1．推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。2．合情推理

比，然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。

3．演绎推理

定义：从出发，推出某个下的结论的推理。特点：由到。模式：三段论——演绎推理的一般模式

“三段论”的结构：大前提——已知的；小前提——所研究的；

结论——根据一般原理，对做出的判断。“三段论”的表示：大前提：； 小前提：；结论：S是P。4．直接证明

定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设（即Q的反

面非Q是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的的证明方法。证明步骤： 6．数学归纳法

证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤：

(1)证明当n取n0时命题成立；（归纳奠基）

(2)假设n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k＋1时命题也成立。（归纳递推）

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法。习题精讲

1．已知函数f(x)=

x

21x。

(1)分别求f(2)＋f()、f(3)＋f()、f(4)＋f()的值；

4(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；

(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2012)＋f()＋f()＋„＋f（2112012)

2．设a、b、c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=

3．已知数列{an}满足a1=，an1=

2(a＋b＋c)，试证s

an＋n－4，其中为实数，n为正整数，求证：对

任意实数，数列{an}不可能是等比数列。

4.证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除

巩固练习

一 选择

1．下列推理是归纳推理的是()

A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆

xa



yb

1的面积S=πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2.下面使用类比推理正确的是()

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

ab

acb

c（c≠0）”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

n

n

n

n

c

（ab）ab” 类推出“（ab）ab” D.“

nn

3.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B.254C.602D.2004 ππ

4．“三角函数是周期函数，y＝sinx，x∈－是三角函数，所以y＝sinx，x∈

22

－π，π是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是()． 22

A推理完全正确；B大前提不正确；C小前提不正确；D推理形式不正确．

5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数

符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

0123

AB A6EB72C5FDB0

201

17.观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．812

58．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a，b，c中恰有一个偶数”,正确的假设为()A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

9．已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若fkk成立，则fk1k1成立，下列命题成立的是（）A、若f39成立，则对于任意k1，均有fkk成立；

B、若f416成立，则对于任意的k4，均有fkk成立；

C、若f749成立，则对于任意的k7，均有fkk成立；

D、若f425成立，则对于任意的k4，均有fkk成立。

二 填空

1．设n2,nN,(2x

12)(3x

n

将ak()a0a1xa2xanx，0kn)的,T40,T5

n2n

最小值记为Tn，则T20,T3其中Tn。





13,,Tn,

x2

2． 我们知道：过圆x＋y＝r上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r，2＋

a

2y

＝1上一点(x0，y0)的切线方程为________． b2

3．观察下列几个三角恒等式：

①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________．

4．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，AG

若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若GD

AO

M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD

OM

则

5．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

6．若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积等于S

r(abc)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V

7．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(选出 所有符合要求的组号)其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.8.问题“求方程345的解”有如下思路：方程345可变为()()1，x

x

x

x

x

x

x

x

考查函数f(x)()x()x,可知，f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减，所以原方程有唯

一的解x=2.类比上述解法，可得到不等式：

x(2x3)(2x3)

x的解集是

三 解答：

1通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假．

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝

23222

sin30°＋sin90°＋sin150°＝

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝2用数学归纳法证明2n2n1(nN,n3)