数学选修22_推理与证明例题1_数学选修2推理与证明

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知识要点分析：

1.推理

根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论.2.合情推理：

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

3.演绎推理：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

4.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。综合法的思维特点是：由因导果

5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。分析法的思维特点是：执果索因

6.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。可能出现矛盾的四种情况：①与题设矛盾；②与假设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

7.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基（或递推基础），第二步是归纳递推（或归纳假设），两步缺一不可

8.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等

【典型例题】

考点一：归纳推理

例

1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

33sin230sin290sin21502；2；

33sin245sin2105sin2165sin260sin2120sin21802；2 sin215sin275sin2135

【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”

【解析】猜想：sin2(60)sin2sin2(60)

3222证明：左边=(sincos60cossin60)sin(sincos60cossin60)33(sin2cos2)2=右边 =

2【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

考点二：类比推理

例

2、观察下列等式：15C5C5232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1591317C17C17C17C17C1721527，„„„

由以上等式推测到一个一般性的结论：

*对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1

4n12n1212答案： n1594n

1【解析】这是一种需用类比推理方法破解的问题，结论由二项式构成，第二项前有1n，二项指数分别为

24n14n1,22n1，因此对于nN*，4n14n14n12n1212。nCC

54n1C9

4n1C

反思：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

考点三：演绎推理

例3.证明函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.证明：满足对于任意x1，x2∈D，若x1

任取x1，x2 ∈（－∞，1）且x1

f（x1）－f（x2）＝（－x12+2x1）－（x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）

因为x10

因为x1，x2

因此f（x1）－f（x2）

所以函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.考点四：综合法

例

4、对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x0,1，)(1；总有f(x)0；②f1③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)

成立，则称函数f(x)为理想函数.（1）若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

（2）判断函数g(x)21（x[0,1]）是否为理想函数，并予以证明；

【解析】（1）取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0.又由条件①f(0)0，故f(0)0.xg(x)21在[0，1]内满足条件①g(x)0；（2）显然

也满足条件②g(1)1.若x10，x20，x1x21，则 x

g(x1x2)[g(x1)g(x2)]2x1x21[(2x11)(2x21)]

2x1x22x12x21(2x21)(2x11)0，即满足条件③，故g(x)为理想函数.【反思】要证明函数g(x)21（x[0,1]）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。

考点五：反证法 x

例

5、已知，a,b,c(0,1)，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a不能同时大于4。

11111ab1bc1ca4，4，4 证法一：假设三式同时大于4，即

11ab1bc1caa,b,c0,1，三式同向相乘得64，又

1aa1111bb1cc1aa24，同理4，4 

11ab1bc1ca64，这与假设矛盾，故原命题得证。

2证法二：假设三式同时大于4，0a11a0，1,22 1bc1,1ca1,3322三式相加得22，这是矛盾的，故假设错误，22同理1a

b

所以原命题得证

点评：“不能同时大于4”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则

反

（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。

与公理矛盾与题设矛盾

（2）用反证法的步骤是：①否定结论ABC②而C不合理与假设自相矛盾

③因此结论不能否定，结论成立。

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

考点六：数学归纳法

3aa0,aca1c,nN*，其中c为实数。n1n1n例

6、设数列满足

求证：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1]； *

证明：必要性：∵a10,∴a21c，又 ∵a2[0,1],∴01c1，即c[0,1]

充分性：设c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1] *

当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0 3

3∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

反思：数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n0）时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标、完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

【本讲涉及的数学思想、方法】

推理在高考中刻意去考查的虽然很少，但实际上对推理的考查却无处不在，从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明是高考中常考的题型之一，对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。