高二数学选修22第二章推理与证明_数学选修2推理与证明

2020-02-27 证明下载本文

高二数学选修22第二章推理与证明由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学选修2推理与证明”。

§2.1.1 合情推理

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

.一、课前准备

（预习教材P70~ P77，找出疑惑之处）在日常生活中我们常常遇到这样的现象：

（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.二、新课导学

探究任务一：考察下列示例中的推理

问题：因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，五边形的内角和是180(52)„„所以n边形的内角和是

新知1：从以上事例可一发现：叫做合情推理。归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。探究任务二：

问题1：在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式的？

新知2 归纳推理就是根据一些事物的,推出该类事物的的推理归纳是的过程例子:哥德巴赫猜想：

观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,例2设f(n)nn41,nN计算f(1),f(2),f(3,)...f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

练1.观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？

三、总结提升※ 学习小结1．归纳推理的定义.2.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2f(x),f(1)1（xN*）2.已知f(x1)，猜想f(x）的表达式为（）.f(x)2421

2A.f(x)xB.f(x)C.f(x)D.f(x)

22x1x12x1111357

3.f(n)1(nN)，经计算得f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32)

23n222

猜测当n2时，有__________________________.50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：归纳推理的一般步骤。2。※ 典型例题

例1用推理的形式表示等差数列1,3,5,7„„2n-1，„„的前n项和Sn的归纳过程。已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,„„1+2+3+„„+n=

n(n1)，观察下列立方和：13，2

13+23，13+23+33，13+23+33+43，„„试归纳出上述求和的一般公式。

2.1.2演绎推理

2.通项公式为

an=cqncq0的数列

an

是等比数列。并分析证明过程中的三段论

【使用说明及学法指导】

1.先预习教材p78„--p81,然后开始做导学案

2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解【学习目标】

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别

【学习难点重点】

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.1.如图。在ABC中，AC>BC,CD是AB

ACDBCD教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.证明：在ABC中【课前预习案】教材p78„--p81,然后开始做导学案

CDAB,ACBC【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】 ADBD

一．基础性知识点,于是ACDBCD.1.演绎推理的定义：_______________________________________________________2．演绎推理是由___________到___________的推理；指出以上证明过程中的错误 3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括【提醒】：演绎推理错误的主要原因是

⑴____________---____________________；1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。⑵____________---____________________；

2、把下列推理恢复成完全的三段论:

⑶____________---_____________________． 4.三段论的基本格式

（1）因为ABC三边长依次为3，4，5，所以ABC是直角三角形；

M—P（M是P）（_________）S—M（S是M）（________）（2）函数y2x5的图象是一条直线.S—P（S是P）（_________）

用集合的观点来理解:______________________________________________________二．课前检测.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数” 结论显然是错误的，是因为（）

A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误3.用三段论证明：在梯形ABCD中ADBC,ABDC,则BC

例

2、已知lg2m,计算lg0.8

1.把“函数yx2x1的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

2.2.1综合法和分析法

【学习目标】

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。【重点难点】

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。【知识梳理】

复习1两类基本的证明方法:和。复习2 直接证明的两中方法:和。知识点一综合法的应用

一般地,利用,经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法。

反思框图表示要点顺推证法；由因导果。例1 已知a,b,cR，abc1，求证：9

变式已知a,b,cR，abc1，求证(1)(1)(1)8。

小结用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明。知识点二分析法的应用

证明：基本不等式新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示

要点：逆推证法；执果索因 ※ 典型例题

例

2变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.例2 设在四面体PABC中,ABC90,PAPBPC,D是AC的中点.求证：PD垂直于ABC所在的平面。

小结解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来。

1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

2.在△ABC中，证明

cos2Acos2B1

1。2222

abab

bcaacbabc

3。abc

a1b1c

1a1b1c

ab

(a0,b0)2

2.2.2反证法

学习目标

（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.【概念形成】

反证法的思维方法：正难则反

反证法定义：一般地，由证明p

q与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。从而判定为假，推出为真的方法，叫做反证法。

【例题分析例

1、已知a,b,cR,abc0,abc1.求证：a,b,c中至少有一个大于

（4结论为 “唯一”类命题；

课后练习与提高

一、选择题

1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）

Ａ．假设a，b，c都是偶数Ｂ．假设a，b，c都不是偶数

Ｃ．假设a，b，c至多有一个是偶数Ｄ．假设a，b，c至多有两个是偶数

2．（1）已知p3q32，求证pq≤2，用反证法证明时，可假设pq≥2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角

二、填空题

4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______． 5.已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

三、解答题

6．

3。

2例2．设ab2，求证ab2.反思总结：

1.反证法的基本步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

2.归缪矛盾：

（1）与已知条件矛盾；

（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。

3.应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；

（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；

2.3数学归纳法

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.1.教学数学归纳法概念：

给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.2、典例分析

题型

一、用数学归纳法证明恒等式

例

1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋„＋n3=

题型

二、用数学归纳法证明不等式例

2、归纳法证明

题型

三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n(nN*)个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成nn2个部分.题型

四、用数学归纳法证明整除问题

例

4、用数学归纳法证明32n2－8 n－9nN能被64整除．

＋

用数学归纳法证明(3n1)7n1(nN)能被9整除

2n（n＋1）2

4题型五归纳、猜想、证明例5．是否存在常数a，b，c使等式

1·222·323·42„nn1

11119…＞（n＞1，且nN）． n1n2n33n10

并证明你的结论。

nn11

2an

bnc对一切自然数n都成立，

六、强化训练

1.用数学归纳法证明“1＋x＋x2＋„＋xn1=

＋

第二章推理与证明知识点：

1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质；

从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； 证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：

找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。

3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

5、直接证明与间接证明

⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN)时命题成立，推证当nk1时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1x1x

n2

x1，nN”成立时，验证n=1的过

程中左边的式子是()(A)1(B)1＋x(C)1＋x＋x2(D)1＋x＋x2＋x3＋„＋x2

6.用数学归纳法证明

11111111

(nN),则从k到k＋1时,1－＋－

2342n12nn1n22n左边应添加的项为

111111