4.3反例与证明_43反例与证明

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§4.3反例与证明

教学目标：

1、理解反例的意义和作用。

2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。

重点与难点：本节教学的重点用反例证明一个命题是错误的。难点是如何构造一个反例去证明一个命题是错误的。

教学设想：传统教材只在命题的真假教学时中提到“反例”。而本套教材不惜重墨，单独编写一节“反例与证明”。这是为了在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构建方法的指导，这对学生创新思维的发展是大有裨益的。

举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。主要教学过程：

一、知识回顾

1、一般的，判断一件事情的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。

3、判断下列命题的真假

（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。真命题

（2）素数不可能是偶数。假命题

（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人。假命题

（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形。假命题

（5）若y(1-y)=0，则y=0。假命题

（1）学生讨论1：如何去判断一个命题是假命题的方法？学生分小组讨论，教师巡回指导，师生总结：判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。

（2）学生讨论2：怎么样反例才能判断一个命题是假命题？学生分小组讨论，教师巡回指导，师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子。如：可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题.（3）让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题

对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。

要让学生明白反例的作用和意义，必须通过较多的实际例子。学生的头脑中原先已经具备有一定的反例意识，在这里的教学要注意结合学生的原有意识，并进行适当的强化，对学生在举反例中容易出现的问题进行归类和针对性的教学，如学生通常叙述不清、对范例的作用认识不明确等，这样可以使学生的学习更加有效。

二、新课新授

对比引例：

1、对于命题“三线两两相交，必有三个交点”你认为是假命题还是真命题？可以采用什么方法加以证明？

如:。

2、请用反例证明命题“相等的角是对顶角” 是假命题。

如：或或 等。

可以以举出一个例子的方式加以说明，但举出的例子必须配有字母并附以一定的文

字说明，不然是无法推翻原命题（说明原命题是假命题的）。

小结：假命题的证明是利用反例来说明。反例必须是具备命题的条件，却不具备命题的结论，从而说明命题错误。说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。这样，教会学生构造反例的方法。

明确：①用反例来证明一个命题是假命题，也就是如果要否定的命题为“A→B”，那么反例就是指“满足A，而非B”的具体例子。

②反例的作用只能说明命题是一个假命题，不能用来说明一个命题是真命题，也不能由次得到相反的命题。

3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。

在此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。

4、例题讲解

例

1、请判断以下命题的真假：

①若ab＜0，则a＞0，b＜0。

②两条直线相交，只有一个交点。

③如果n是整数，那么2n 是偶数。

④若两个角不是对顶角，则它们不相等。

⑤直角是平角的一半。

例

2、判断下列数学命题的真假，并给出证明：

(1)若2x+y=0，则x=y=0；

解: 是假命题。理由如下：取x=-1，y=2，则2x+y=2×(-1)+2=0，但x≠0，且y ≠0。即 x=-1，y=2具备命题的条件，但不具备命题的结论，所以这个命题是假命题。

(2)有一条边、两个角相等的两个三角形全等。

解: 是假命题。理由如下：如图，在ΔABC和ΔA′B′C′中，∠A=∠B′，∠B=∠C′，AB=A′B′，但很明显，ΔABC和ΔA′B′C′不全等，所以这个命题是假命题.（3）两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。

解：是假命题。理由如下：如图，B，D，C在同

一条直线上，在ΔABC和ΔABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC。但很显然，ΔABC和ΔABD不全等。所以这

个命题是假命题。

例题小结：如果要证明或判断一个命题是假命

题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。能举反例说明

一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一

个说明即可。

三、实践应用，知识迁移

（一）填空：

1、利用_举反例_可以判定一个命题是假命题。

2、反例必须要具备__命题的条件_，却不具备_命题的结论__，从而说明命题是错误的。

（二）选择：

以下可以用来证明命题“水这种物质是液体”是假命题的反例是()

(A)河水(B)矿泉水(C)蒸汽(D)开水

（三）学以致用：

1、判断命题“若x+y=0，则x=1，y=-1”的真假，并给以证明。

2、举反例说明命题“一个角的余角不小于这个角的补角”是假命题。

3、以下可以用来证明命题“素数不可能是偶数”是假命题的反例是

()

(A)2(B)3(C)11(D)

314、“互补的两个角，必定一个是锐角，一个是钝角”这一命题是假命题，你可以举的反例是：_____________________。

5、用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(1-x)=0，则x=0；

(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半；

(3)相等的角是对顶角；

6、判断下列命题的真假，并给出证明。

（1）水作为一种物质是液体；

（2）任何三条线段都能组成一个三角形；

（3）有一个角是60°的三角形是等边三角形。

7、补充练习：

用反例证明下列命题是假命题：

（1）若x≠1，则分式x有意义.x2

1（2）若∠1与∠2是同位角，∠2与∠3也是同位角，那么∠1与∠3是同位角.（3）任何偶数都是4的倍数。

（4）一元二次方程x2+bx+c=0(c

四、归纳总结：

1、如何去判断一个命题是假命题

2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题判断命题的真假。

运用反例证明假命题.反例必须具备命题的条件，却不具备命题的结论，从而说明命题是错误的。

说明一个命题是假命题，通常只用找出反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子。

五、探索与思考；

判断命题 “一角和夹这角的一边对应相等，且这边上的中线对应相等的两个三角形全等” 是真命题，还是假命题？请给出证明。

六、作业：见作业本