单调性证明不等式_利用单调性证明不等式

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单调性证明不等式

x证明e≥x＋1.xx证：记K(x)＝e－x－1，则K′(x)＝e－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)

在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.1所以f(x)≤1]． 1＋x

证明(1＋x)e≥(1－x)e.－xxx－x证：记h(x)＝(1＋x)e－(1－x)e，则h′(x)＝x(e－e)，当x∈(0，1)时，h′(x)

＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．

x21．B12，B14[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.1x21．解：(1)f′(x)＝e.x＋m

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.1xx于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝e.x＋1

1x函数f′(x)＝e－在(－1，＋∞)单调递增，x＋1

且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，f′(x)0.所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.1x当m＝2时，函数f′(x)＝e－在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)0，x＋2

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)．

当x∈(－2，x0)时，f′(x)0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0得

1ex0＝ln(x0＋2)＝－x0，x0＋2

1（x0＋1）故f(x)≥f(x0)＋x0＝>0.x0＋2x0＋2

综上，当m≤2时，f(x)>0.2－xx