随机过程证明题 合工大_合工大随机过程

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一、证明题

证明公式EEX|YEX



以X、Y为连续性分布进行证明，离散情形类似

设其边缘分布函数和联合分布函数分别为fXx,fYy和fx,y记my=EX|Yy=xfX|Yx,ydxx-

-

+

+

fx,y

dxfYy++

Emy

++

+

-



myfYydy

--



xfx,y

dxfYydyfYy

--

xfx,ydxdyEX

矩母函数相关证明

tY

1.gYtEetYEEe|Nn运用公式EEX|YEX



先证明条件期望EetY|Nn

tXi=Eei1|Nn

nN

tXitXi

Eei1|NnEei1因为N与Xi独立

=gX1Xnt=gX1tgX2tgXntgXtgYtEetYEgXt

N

N



N







2.由矩母函数可以求得X的k阶原点矩的值EXkgk0gY'tENgXt



N1

gX't

N1



N2

gY'0EYENgX0

''



gX'0EN1EXEXEN其中gX0Ee0x1

gXtNgXt

'

N1

3.gYtENN1gXtgY''0ENN1gX0



gX''t





N2

gX'0NgX0

N1

gX''0





ENEXNEXNEX=ENEXNDX

ENN1EXNEX2

EN2EXENDX

证明EYgX2EYEY|X 2

记mXEY|X

EYgXEYmXmXgX

2222EYmXEmXgX2EYmXmXgX

EYmXmXgX



EmXgXEYmX|X运用P12性质3

又EYmX|XEY|XEmX|X

mXmXE1|X0运用P12性质3

222EEYmXmXgX|X运用性质EEX|YEXEYgXEYmXEmXgXEYmXEYEY|X