命题与证明5_132命题与证明5

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14.2 命题与证明

一、教学目标

(一)知识目标

1.了解证明以及证明的必要性.

2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明.

3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言.

4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题.

(二)能力目标

1.培养学生规范的数学解题能力.

2.培养学生分析问题、解决问题的能力.

(三)情感目标

培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神.

二、教学重点

将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用.三、教学难点

将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”.六、教学过程：

(一)引入

一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?

我们曾经计算过三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和，得到这样一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这个规律呢?

(二)新课

由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢?那就是证明.

根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.

下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明.例1 证明：两直线平行，同旁内角互补.

分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠1+∠2=180°”，同时要画出图形.

图

1已知：如图1，直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B.求证：∠1+∠2=180°.

证明：略

由例1可知以下两点.

1.文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形.

2.证明的一般过程：由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程.

注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理.例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等.引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明

思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点.求证：BE=CF.

证明：略

例3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三

角形全等.

分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分

析证明思路，最后写出证明的过程.

图 3

已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=

A′C′，CD⊥AB于D，C′D′⊥A′B′于D′，且CD=C′D′.

求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

分析：(1)Rt△ABC与Rt△A′B′C′中已满足全等的什么条件?(AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°)

(2)还需补充什么条件两三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或∠B=∠B′，或∠A=∠A′)

(3)选择哪个条件?(∠A=∠A′)

(4)为什么?(已有条件AC=A′C′，CD=C′D′)

即先证明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，再证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.请小组同学共同完成证明过程.(略)

文字命题证明的一般过程：

首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程.

练习教材第96页练习第1题.

例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题.

分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明.

举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可.

解 设两个锐角都为30°，则两个锐角的和为60°，不等于90°，所以这个命题是假命题.

练习教材第96页练习第2题.

(三)小结

1.证明的一般步骤；

2.用举反例的方法证明或判断简单的假命题.

(四)作业