应用回归分析证明题及答案_应用回归分析证明题

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应用回归分析证明题及答案

n

n

一.证明残差满足的约束条件：ei0，xiei0。

i1

i1

证明：由偏导方程即得该结论：

Q2n

ˆ

0ˆ0

(yi1

i0ˆ1xi)0Q2n(yˆˆx)x11ˆ1

i1

i01ii0

证毕.二.证明平方和分解式：SSTSSRSSE。证明：

nSST(y2

n

(yˆ2i)iy

iyˆi)i1i1n

ˆ2n

n

(y

i)i1

(yiyˆi)22i1

(yiyˆi)(yˆi)i1

上式第三项2neiyˆnn

iei2ei(ˆ0ˆ1xi)0i1i1

i1n

2ˆ0eiˆn

1xei1iii1

0

nˆn

即SST(y

2i)i1

(yiyˆi)i1

SSRSSE

证毕.三.证明三种检验的关系：

（1）SSR/1ˆ2L；(2)F=

SSE/(n2)=1xxˆ2=t2证明：由于

r

L

ˆ

SSR 2r2SST,

ˆ2e2

i

n2



SSTSSR

n2

所以

t;FSSR/1

SSE/(n2)ˆ21Lxx

ˆ2.证毕.)1(x2四．证明：Var(ei)i12

。

n(x)2

i证明：由于

eiyiyˆiyi(ˆ0ˆ1xi)yi



ˆ1

(xi

)

y1ni(xi)yinyi(xi

)

i1Lxx

于是

Var(e1ni)Varyinyi(xi)yi(xi

)

i1Lxx

Vary1n

(xi)yiin2VaryiVar(xi)

i1Lxx

2Covy1n

(xi)yii,nyii12Covyi,L(xi)

xx

2Cov1n(xi)yi(xnyi,i1Li

)xx

2

1(x22i)2n(xi)2212L22

xxnLxx

11n

(xi)2L2

xx证毕.五．证明：在一元回归中，Cov(ˆ0,ˆ1)L2。xx

证明：

Cov(ˆ1n(xi)yi0,ˆ1)Cov(xi)yinyii1L,xxLxx

Covn1(xni)(xyi)i,yii1nLxxi1Lxx

Covnn1(xi)(xi)Lyi,yi

i1nxxi1Lxx



n

1(xi)(xi)2

i1n

L

Lxxxx2

Lxx

证毕.六．证明：

ˆ21

np1

SSE 是误差项方差2的无偏估计。

证明：由于D(e1(xi)2i)1n(xi)22



而E(e2

i)D(ie)

E(ie2)

Di(e)

所以

E(ˆ2)En

1np1SSE 1

np1

E(e2i)i1

nn

1np1D(e1i)i1np1(1hii)2 i1

1np1

(np1)22证毕.七．证明：E(βˆ)β；D(βˆ)2(XX)1。证明：

E(β

ˆ)E(XX)1Xy(XX)1XEy(XX)1XEXβε

(XX)1

XXβ

β

ˆ)Covβˆ,βˆCov(XX)1Xy,(XX)1XyD(β

(XX)1XCovy,yX(XX)1(XX)1X2IX(XX)12(XX)1



证毕.八．证明：在多元线性回归中，假设εN(0,2In)，则随机向量yN(Xβ,2In)。九．证明：当yN(Xβ,2In)时，则：

ˆN(β,2(XX)1)；（1）β（2）SSE/2(np1)。证明：

ˆ(XX)1Xy，X是固定的设计矩阵，因此，βˆ是y的线性变换。（1）因为β

ˆ服从正态分布，且 又当εN(0,2In)时，有随机向量yN(Xβ,2In)，所以β

ˆ)β,D(βˆ)2(XX)1，即有βˆN(β,2(XX)1)。E(β（2）：由于

ˆ)(y-yˆ)SSEee(y-y

(I-H)y(I-H)y

y(I-H)yyNy

(Xβε)N(Xβε)

NX0

εNε

借助于定理：设XN(0,In)，A为nn 对称阵，秩为r，则当A满足：A2A，二次型XA2X2r，只需证明：rk(N)np1即可。因为N是幂等阵，所以有rk(N)tr(N)，故

rk(N)trInX(XX)1X

ntrX(XX)1Xntr(XX)XXnp1

1

证毕.ˆ与残差向量e不相关，即十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计βˆ,e)0。Cov(β证明：

ˆ,e)Cov(XX)1Xy,(IH)yCov(β

(XX)1XCovy,y(IH)(XX)1X2I(IH)(XX)1X2I(IX(XX)1X)0

证毕.ˆ)，其中ˆ十一．证明：DW2(1



ee

n

tt1。

证明：由于

DW

(ee

t

t2

n

t1)

e

t2

n



ee

2tt2

t2

nn

2t1

2etet1

t22t

n

2t

e

t2

n

ˆ如果认为ee，则有

t

2t1

t2

t2

nn

ee

t2n

n

tt1，所以

e

t2

2t

n



eett1

ˆ).2(1DW21t2n

et2t2

证毕.十二.试证明：在二元线性回归模型yi01xi12xi2i中，当x1和x2 相互独立时，对回归系数1 和2的OLS估计值，等于yi分别对

x1和x2做简单线性回归时回归系数的OLS估计值。