实变函数证明题_实变函数证明

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证明题由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。证明区间上的单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。设{A|},{B|}是两个集族.若,AB,且

AA,BB,(,,), 则AB.

4设f:XY, 则f是单射当且仅当A,BX,f(AB)f(A)f(B).5 设M[0,1]是[0.1]上全体实函数所成之集, 证明M[0,1]2证明数轴上一切闭区间所成之集的基数为c.设ABc,则Ac或Bc设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,Af1[0,1].[f(A)].设f:XY, 则f是单射当且仅当AX,f(XA)f(X)f(A).10 设f:XY,f(X)YCY,f[f1(C)]C.设A是可数集,则A的一切有限子集所成之集是可数集.12证明每一个闭集必是可数多个开集的交集。

13证明f(x)为[a, b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是闭集。明直线上非空开集的任何两个不同的构成区间必不相交。间（a,b）上任何两个单调函数，若在一稠密集上相等，则它们有相同的连续点． 16 证明xExE{x}证明E为闭集.证明f(x)为(a,b)上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E{x|f(x)c}和

E1{x|f(x)c}都是直线上的开集。证明xEd(x,E{x})0.证明任何非空闭集可表示为可数个开集的交.证明Rn中的孤立点集至多可数.

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