高等数学证明题_高等数学上证明题

高等数学证明题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高等数学上证明题”。

1.证明：函数f(x)(x2)(x3)(x4)在区间(2,4)内至少存在一点，使f()0。

证明：f(x)在[2,3]上连续，在(2,3)内可导，且f(2)f(3)0，由罗尔定理，至少存在一点1(2,3)，使f(1)0，同理，至少存在一点2(3,4)，使得f(2)0；f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点(1,2)(2,4)，使得f()0。

2.设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)f(b)0, 并存在一点c(a,b)，使得f(c)0.证明至少存在一点(a,b)，使得

证明：考虑区间[a,c]，则f''()0.(10分)f在[a,c]满足Lagrange中值定理的条件，则存在1(a,c)，使得f'(1)f(c)f(a)0.(3分)ca

f'(2)f(b)f(c)0.(5分)bc

Lagrange中值定理的条件，则存在同理可证存在2(c,b), 使得再考虑区间[1,2], 由条件可知导函数f'(x)在[1,2]上满足

(1,2)，使得f''()f(2)f(1)0.得证.21

3.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且

证明在[a,b]内有F(x)

证明在[a,b]内有F(x)f(x)0F(x)1xf(t)dt xaa0 0

F(x)x1[(xa)f(x)f(t)dt](2分)2a(xa)

=1[(xa)f(x)(xa)f()]([a,x][a,b])(2分)(xa)2

xf()((,x)[a,b])xa=

F(x)0(2分)

1x)arctanx 4.证明:当x0时,(1x)ln（令

f(x)(1x)ln(1x)arctanx 0时,f(x)ln(1x)1

当x所以

0 2

1x

f(x)在(0,)上单调增(3分)又f(0)0（f(x)0即当x0时,(1x)ln(1x)arctanx(3分)

5.证明：当x

1时，3

1。

x

答案：证：令f(x)3

1

，则 x

f(x)

'

22(1)，xx

因为f(x)在1,连续，并且在1,内f'(x)0，因此f(x)在1,上单调增加，从而当x1时，f(x)f(1)0。这就得到

3

(x1)。x

x2,x0.(8分)6.应用函数的单调性证明不等式：ln(1x)x2

证明: 令

x2

f(x)ln(1x)x,(2分)

x2

f(0)0,f'(x)0, x0.所以

1x

则

f(x)在[0,+)上连续，在(0,+)上可导，且

f(x)在[0,+)严格单调递增，故f(x)f(0)0, x0.(7分).即

x2

ln(1x)x,x0.(8分)

7.证明：设a0

na1a2a

n0，证明函数f（x）=a0a1xanx在（0，1）内至23n1

少有一个零点。（6分）证明：法一利用定积分：假设函数f（x）=a0

a1xanxn在（0，1）上没有零点

则因f（x）在[0，1]上连续，姑f（x）恒为正或负————（1分）从而由定积分性质得：



f(x)dx[a0x

1a12a23a

xxnxn1]

023n1

=a0



a1a2a

n 23n1————（4分）

为正或为负，这与假设矛盾。

所以函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#——（1分）法二利用罗尔定理

设

=a0

F（x）=

a0x

a12a23a

xxnxn123n1，则

F'(x)

f（x）

a1xanxn——（2分）

显然F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点，使F'()即

0———（3分）

f()0。因此，函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#———（1分）

8.证明：已知(x)af

证明：(x)=af

(x)，且

f(x)

1，证明(x)2(x)f(x)lna

(x)

lna2f(x)f(x)----------------------4分

=2(x)lnaf(x)

1----------------------3分 f(x)lna

=2(x)---------------------------3分

9.若f(x)a1sinx

aa2

sin2xnsinnx，求证：存在c(0,)，使得 2n

a1cosca2cos2cancosnc0

证：因为

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

f'(x)a1cosxa2cos2xancosnx（2分）, f(0)0f()（3分）所以，由Rolle

中值定理得到: f

‘

(x)在(a,b)

内至少有一个零点（4分），即至少存在一点c

(0,), 使得

a1cocsa2co2scanconcs0

10.证明:|sinxsiny||xy|

证：由微分中值定理得到：sinxsin

y(xy)cos,在x与y之间（3分）

所以|sinxsiny||xy||cos|（5分）|xy|（6分）

x

x

11.设函数

f(x)在[a,b]上是连续函数, 且f(x)0,令F(x)f(t)dt

a

b

'

1.f(t)

求证：（1）F（2）F(x)在(a,b)内有且仅有一个零点(x)2；

证：由微积分学基本定理得到：

F'(x)f(x)

f(x)

（1分）

2

（2分）。因为，a

F(a)

b

a

11=0；F(b)f(t)dt0（3分）则由根的存在性定理得到： f(t)f(t)ab

b

F(x)在(a,b)内至少有一个零点（4分），由（1）知F(x)在[a,b]上是单调上升，所以F(x)在(a,b)

内有且仅有一个零点（5分）

12.设

f(x)在[0，1]上可导，且f(1)2xf(x)dx

。试证明在（0，1）内至少有一点，使

f()f()0。

证明：设

g(x)xf(x)

12，则

g(x)

在[0，1]上可导，又由积分中值定理

g(1)=f(1)2xf(x)dx=f()g()（在（0，12）内，从而由罗尔定理在（0，）内有使

f()f()0证毕。

13.