2.3：不等式的证明比较法_不等式的证明比较法

2.3：不等式的证明比较法由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“不等式的证明比较法”。

2.3不等式的证明（1）比较法

【知识要点】

1．作差比较法：

ab0ab

理论依据：ab0ab

ab0ab

证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。

1．作商比较法：

aba

b

a

b

a

b11 1理论依据：当a,bR时，abab

证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。

【基础训练】

1． 已知a,b(0,)，设A

12a1

2b,B

2ab，则A、B的大小关系为______________。

2． 已知a,b

是两个不相等的正数，M

为______________。

3． 若x³

ab2N，则M与N的大小关系a+b2的大小关系为______________。4．若a>0,b>0，则ab与(ab)

【精选例题】 的大小关系为____________。

例1． 已知a,bR，求证：a2b2c2abbcac。

解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、判别式”。方法一：2(a2b2c2)2(abbcac)abaccb0 所以a2b2c2abbcac。22

2a2bc22abbcaca

22(bc)abcbc222bcbc22bcbc方法二：a22

bc3(bc)a02422

所以a2b2c2abbcac。

方法三：a2b2c2abbcaca2(bc)ab2c2bc

D=(b+c)-4(b+c-bc)0

所以a2b2c2abbcac0，所以a2b2c2abbcac。思考题：已知a,bR，求证：a2b21abab。方法一：作差整理成关于a的二次式，再配方。方法二：作差整理成关于a的二次式，再用证明。

例2．（2000年上海春季高考题）设函数f(x)|lgx|，若0ab且f(a)f(b)，证明：ab1。

解法指导:利用等价命题证明。

证明：f(a)>f(b)?|lga||lgb|?|lga|2|lgb|2?lg2a

?(lga

lgb)(lga-lgb)>0圩lg(ab)lg

ab

abab>0

lgb>0，因为0ab，所以0

，所以lg(ab)

例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a元/kg，二等小麦b元/kg(ba)。现有一等品小麦xkg，二等品小麦ykg。若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为

ab2

元/kg4。如以此价格统一收购，则收购费用为

ab2

(xy)

元；

而原定方案收购费用为（axby）元。因为(axby)

ab2

(xy)

(ab)(xy)。

又因为ba，所以ab0，所以

（1）若xy，则收购站得利；（2）当xy时，两种方案费用一样；（3）当xy时，则收购站吃亏。

例4．已知函数f(x)logax(a0,a1,xR)，如x1,x2R，判断[f(x1)f(x2)]与

f(x1x2

212)的大小并加以证明。

x1x2

2x1x2

2)logaloga

x1x2

解：[f(x1)f(x2)]—f(=

logax1logax2loga

1因为x1,x2

R，所以

x1x2

x1x2时取等号。

（1）当a1时，12

[f(x1)f(x2)]f(1

x1x2

22)；)。

（2）当0a1时，[f(x1)f(x2)]f（x1x2

【能力训练】

一、选择题： 1．已知a>0,a?1,P（）

（A）P>Q（B）Pa+b”的（）

（A）充分条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件

3．现给出下列三个不等式：

(1)a+1>2a;(2)a+b>2(a-b-

2loga(a-a+1),Q=loga(a-a+1)，则

P与Q的大小关系为

32);(3)(a+b)(c+d)>(ac+bd)，其中恒成立的不等式共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

4.设复数z1,z2且M=z1z2+z1z2,N=z1z1+z2z2,则M、N的大小关系为（）（A）M³N（B）M>N（C）M£N（D）不能比较大小

二、填空题： 5．若a>0,a刮1,m,n

骣

N

*，则1+am+n_________am+an（比较大小）。

p÷

6．当xÎç。0,÷时，1-cosx________sinx（比较大小）çç桫2÷

7．设x?R+,P

2+

2x-x,Q=(sinx+cosx)，则P、Q之间的大小关系为________。

8．设xÎR，则1+2x4______2x3+x2（比较大小）。

三、解答题： 9．设a,b,c?R+,ab

bc+ac=

1，证明：a+b+c。

10．设a>0,b>0,证明下列不等式。（1）a2+b2+2?2a2b

（2

11．设an是由正数组成的等比数列，log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1。

Sn是其前n项的和。证明：