用分析法证明 已知_证明方法分析法

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用分析法证明已知

要证明(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c>3

即是证明(b+c)/a-1+(a+c)/b-1+(a+b)/c-1>3

b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

因为a，b，c>0，且不全等，所以b/a+a/b≥2

a/c+c/a≥2

b/c+c/b≥2

上式相加的时候，等号不能取到，因为不全等。故b/a+a/b+a/c+c/a+b/c+c/b>6

命题获证

a²-b²=tan²α+2tanαsinα+sin²α-tan²α+2tanαsinα-sin²α

=4tanαsinα

左边=16tan²αsin²α

=16tan²α(1-cos²α)

=16tan²α-16tan²αcos²α

=16tan²α-16sin²α/cos²α*cos²α

=16tan²α-16sin²α

右边=16(tan²α-sin²α)

所以左边=右边

命题得证

要证|(a+b)/(1+ab)|

就是要证|a+b|

就是要证(a+b)^2

就是要证a^2+2ab^2+b^2

就是要证a^2b^2-a^2-b^2+1>0

就是要证(a^2-1)(b^2-1)>0

而已知|a|

所以(a^2-1)(b^2-1)>0成立

|(a+b)/(1+ab)|

左边通分整理

即证|(b-a)(b+a)/(a²+1)(b²+1)|

把|a-b|约分

|(b+a)/(a²+1)(b²+1)|

即证|a+b|

显然a和b同号时|a+b|较大

所以不妨设a>0,b>0

a+ba²-a+1/4=(a-1/2)²

b²-b+1/4=(b-1/2)²

所以a²-a+b²-b+1>0

a²b²>=0

所以a>0,b>0时

a+b若都小于0，绝对值一样

把以上倒推回去即可

证明：由a>0,b>0，lnx是增函数，要证：a^ab^b>=a^bb^a,即证：alna+blnb>=alnb+blna

即证：a(lna-lnb)+b(lnb-lna)>=0

即证：(a-b)(lna-lnb)>=0.由于，lnx是增函数，因此，a-b与lna-lnb符号相同。

则(a-b)(lna-lnb)>=0成立。

于是：原不等式成立。