构造性证明与存在性证明小议_存在性问题及证明

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构造性证明与存在性证明小议

幸 克 坚

（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）

摘 要：构造性证明与存在性证明是数学证明中常见两种证明方法。本文对它们的概念、来历及证明思路和作用与意义，乃至相互之间的关系，作了概略的议论。并主张将它们作为一对哲学范畴，贯穿在数学教学和数学研究之中。

关键词： 构造性存在性证明

中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）04-00

一、构造性证明与存在性证明：

在数学中对命题：“存在x，使得命题F(x)成立”的证明，有两种办法：构造性证明与存在性证明。构造性证明就是通过有限步的推导或计算，具体地找（构造）出这样的x；存在性证明则是从逻辑上证明所述对象x确实存在，但x具体是多少？在哪里？并不一定知道。因此，构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要具体地求出对象的位置或多少（大小），而存在性证明则只需要证明该对象的存在即可。简言之,构造性证明相信“眼见为实”，而存在性证明只是证明了“没有被看到的”的存在，是一种理性的承认。

二、构造性证明的来历及思路分析

从历史的渊源上看，构造性证明的基本思路可以说源于我国古代数学。我国古代数学有两大特点：其一是典型的算法体系，一切结论只是通过计算结果来说明，以汉代的《九章算术》为典型代表，将九类问题总结出九类算法，算法比较机械，有相对固定的步骤（既我们今天常说的程序），每前进一步后，都有有限多个确定的可供选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路一直往前走就可以得出结果；另一个特点是宋元时期，把许多几何问题转化为代数方程与方程组的求解问题，创造了相当于现代多项式的概念，建立了“天元法、四元法”等代数工具，进一步丰富了算法的内容。这都体现了显著的“构造性”或称作“可操作性”特色。

现代意义上的构造性证明则来源与一种被称为“构造性数学”的数学哲学观点（流派），它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个x满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质Ａ的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的这个x来。如果进一步追溯下去，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根

基金项目：遵义师范学院科研基金项目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究 1

据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”

由于构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要通过有限的步骤具体地计算或推导求出对象的位置或多少（大小）。所以，在证明过程中就具有鲜明的“构造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

bb24ac就是要具体地得出用方程的系数表示解的求根公式：x，而这个结果是通过配方一步步2a

得到的。

构造性证明基本上都是直接证明，是通过式子的变换一步步“构造”出命题的结论所描述的对象。因此，“构造”时往往具有较高的技巧和灵活性，对相关知识和方法的掌握运用要比较熟练。

三、存在性证明的来历及思路分析

存在性证明应该说源于经典数学的“公理化”思想方法，起源于古希腊。希腊是一个特别喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他们总是力图将一切知识体系建立在一个相对比较精练的理论基础和一套严谨的逻辑推理规则上，欧几里得《几何原本》就是这方面的代表作，它创造了一套用定义、公理、定理构成的逻辑演绎体系。而现代意义上的存在性证明当首推“数学王子”高斯，高斯发现了代数基本定理并给出存在性证明，是对代数学的重要贡献，也可以说是开创了数学研究的新途径。但真正第一个认识到存在性证明的深刻价值和意义的人是“现代数学的巨人”希尔伯特，希尔伯特在解决代数不变式问题时，采用直接的、非算法的方法，证明了不变式系的有限整基的存在性定理。

顾名思义，存在性命题证明的关键是证明其存在性，它与构造性证明不同，由于相应命题所述对象的不可构造或不易构造，一般只能从逻辑和理论上证明所述对象确实存在，但不能具体求出。因此，其证明常常表现为间接证明，即假定所述对象不存在，就会导致矛盾；有时候必须依靠一种紧密联系的“逻辑链”才能说明其存在性。如微分学中有两组定理：其一是三条中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都属于存在性命题，证明罗尔定理时的依据是最大值最小值定理，然后对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明则是构造辅助函数： ⑵

(x)f(x)f(a)

把问题转化为利用罗尔定理的结论上来。f(b)f(a)(xa)ba

类似的逻辑链式的定理还有：用实数的构造理论想法构造数列证明了单调有界定理——区间套定理——确界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,这几条定理都属于存在性命题，其证明也是逻辑上紧密联系的，并且都是构造一系列区间套，“套”出结论中的对象——那一个点。这种逻辑上的极强前后连贯性（或称为依赖性），很好地体现了公理化方法的特色。

四、构造性证明与存在性证明的评价及哲学意义

对构造性证明与存在性证明,有两种比较偏颇的观点：

第一种观点认为构造性证明才合理而存在性证明则不合理。如希尔伯特在研究不变量理论时给出一个存在性证明，当时曾引起一场轩然大波。德国的克罗内克认为：“没有构造就不算是存在”；还说：“上帝⑶

创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。不变量之王果尔丹甚至说：“这不是数学，是神学”。

希尔伯特坚持这样的观点：只要能证明一个概念的属性绝不会引出矛盾，那么就自然确定了这个数学概念在数学上是存在的，克莱因支持并赞美这种证明，说：“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的。”„„希尔伯特指出：“纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突现出来；达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由„禁止存在性证明„等于废弃了数学科学。”

第二种观点则认为数学应该注重理论上和思想上的价值，从这个意义上说，存在性证明才有说服力。只有建立在古希腊的逻辑、公理体系上的存在性证明才是一种理性思维成果，构造性证明思想实际上是一种相信数学的理念，对数学真理性的认识包括了相当的非理性成分。在这种观念指导下，在相当长的一段时期和较大的范围内，存在着这样一种观点：建立在算法基础之上的中国古代数学只是一种“术”——即只停留在技术层面上、功利性地偏重于实用的操作技能，算不上科学。并且以此为理由在数学史中全面否定中国古代数学。

事实上，构造性证明体现了一种所谓的“机械化”思想，即按部就班有步骤地进行，这确实是中国古代数学的特征；“机械化”是相对于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希腊，19世纪以来，希尔伯特等一批数学家和哲学家在建立数学基础的工作中，进一步明确和强调了这种思想。应该说，这确实是中西传统数学的各自特点，各有其长处，在现代数学体系中也起到了各自的作用。不应该狭隘地看待。

例如，就构造性证明而言，作为人类智慧新成果之一的数学定理的机器证明，就是我国著名数学家和数学史家吴文俊院士继承我国古代数学传统开创的数学机械化工作的一部分，吴文俊先生以其深厚的几何学和拓扑学功底，吸收了我国古代数学的上述两大特点之后，将几何问题用代数方程表达，用之于计算机。1977年先在平面几何定理的机器证明方面取得成功；1978年推广到微分几何；1983年我国留美青年学者周咸青在全美定理机器证明学术会议上介绍了吴（文俊）方法，并且自编软件，一鼓作气证明了500多条难度颇高的几何定理，轰动了国际数学界。

而存在性证明那种“非常简单，在逻辑上不可抗拒”，雄辩地让人无可辩驳的“理性的承认”确实体现了人类理性思维的威力。如中值定理使我们确实相信“中值”的存在，代数基本定理中我们确实相信“任何一个n（n＞0）次多项式f(x)在复数域内有n个根。其关键是证明其“确实存在”，并没有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多数情况下，最终也无法回答这个问题。但丝毫不影响对命题结论可靠性的信服和运用。例如，正是立足于代数基本定理的结论，才得到与多项式因式分解理论相关的一系列成果，数学分析中有理函数的不定积分可以说是解决得十分完善的，也得益于这一结果。

而且，存在性证明与构造性证明是常常是紧密相依、相辅相成、互为补充的。首先，在一定意义上说，构造性证明中已经包含了“存在”——不但存在，而且已经找出。其次，存在性的证明往往也需构造，如上述微积分中两组重要定理的存在性，也是用构造法证明的；再次，有些存在性命题也能够具体的求出结果，从而转化为构造性命题，如我们熟知的数列极限、函数极限的“ε—N”、“ε—δ”定义，本身显然是存在性命题，但对于具体的问题和给定的具体的ε，如果需要的话，也可以求出相应的N和δ。所以可以说“构造中蕴涵着存在，有存在才可能构造”。又如十七世纪产生的将运动变化的辨证法引入数学的微积分、被称为 “数学中的转折点”，就充分体现了构造性证明与存在性证明的完美结合：如极限存在的两个准则——夹逼准则和单调有界准则中夹逼准则“anbncn”需要求出liman与limbn，属于构造nn⑸⑷⑴

性证明，而单调有界准则则是从逻辑上确信其极限存在，属于存在性证明；又如“求导”过程：从依定义

求了一小部分基本初等函数的导数入手，经过讨论导数的运算性质、反函数、复合函数、隐函数的求导法则，十分彻底地解决了整个庞大的初等函数类的求导问题，既解决得十分彻底，又在逻辑上前后紧紧相依，密切联系，是典型的构造性结果；积分法中的换元与分部乃至特殊函数的积分，也体现出明显的构造性色彩，具有很强的可操作性。而上述中值定理和区间套定理等两组重要定理，则可以说是存在性证明的典型例子。

综上所述，存在性证明与构造性证明之间有紧密的相依关系，二者是互为补充而不是互相对立、互不兼容的关系。从哲学的观点来看，存在性命题与构造性命题可以作为一对哲学范畴，它们之间体现了一种对立统一关系。按希尔伯特的上述说法，还呈现为一般与特殊、抽象与具体的关系。应该把这种观点带到数学教学和研究之中：在向学生传授具体的数学知识的同时，将存在性证明与构造性证明及其作用与关系结合具体例子介绍，逐步给他们一定的数学哲学、数学史和数学方法论方面的知识。在用这种观点从事数学研究，有可能使自己看问题更加客观、全面。

参考文献：

⑴ 郝宁湘．构造性数学及其哲学意义［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．数学史辞典［M］．济南∶山东教育出版社．2000．170

⑶ 华东师范大学数学系．数学分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 张顺燕．数学的源与流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席泽宗．科学史十论［M］．上海∶复旦大学出版社．2003．4—5