高等概率论证明的十八个小技巧_组合恒等式的证明技巧

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高等概率论证明的十八个小技巧

1．Good sets principle（好集原理）

例如为证明某一个sigma代数F具有某种性质，可首先设具有该性质的属于F的集合组成的族为G，然后证明G为一个sigma代数，从而F＝G。

2．sigma可加性

要证明某一个集函数可列可加，先证明其为有限可加，然后证明其满足上连续或下连续，则可列可加成立。

同样的道理，证明F为sigma代数，只需要证明F为代数且对上升序列极限封闭即可。

3．证明两个sigma代数相等，总体思想通常是双包含，加以其他的技巧。

4．由代数G生成sigma代数F，则F中任一集合均可以由G中的集合列任意逼近，这在证明一些性质由G扩张到F上时仍成立时会用到。

5．证明不等号成立，若直接证不容易时，可尝试在较大的一侧添加一个可以任意小的epsilon>0，得到一个不等式，完成证明后使epsilon趋于0得原不等式。

类似的思想，也可以在较小的一侧乘以系数b，b在0、1之间，得到不等式，然后令b趋于1，这个过程中应注意保证不等式与b的选取无关。

6．Monotone cla theorem（单调类定理）

设F为域（也即代数），C为单调族，若C包含F，则C包含F生成的sigma代数。

利用此思想，证明问题时先构造一个符合要求的单调族（因单调极限封闭相对容易满足），然后去证明F包含在这个单调族内。

单调族定理证明中的方法也值得学习，另单调族定理实质是说明由域生成的最小单调族与最小sigma代数相同。

7．证明一个问题对sigma有限测度成立，可证明该问题对有限测度成立，因对sigma有限测度u，可拆成有限u(n)加和。

8．对可列可加的情形，通常先证明有限的情形，再讨论无穷的情形，或者看作有限的逼近。

9．证明对Borel可测函数成立，可在有意义的前提下证明对非负Borel可测函数成立，更进一步只需要证对非负简单函数成立即可。

这个方法的另一套思路是：设H为满足所要证明问题性质的非负Borel可测函数组成的族，证明H是一个单调系（monotone system），再证明H包含了所有的示性函数即可。这里的Borel可推广到一般的可测含义。

10．单调收敛定理

单调上升的非负Borel可测函数序列hn（x）收敛到h（x），则其序列积分收敛到极限的积分。

11．划分积分区间为可列小块，分别考虑。

12．Fatou引理

引理内容不再叙述，很常用的引理。

13．控制收敛定理

同样是Very Important

14．要证明某个性质几乎总成立，可转化证明其对立面几乎总不成立，也即证明不具有此性质的集合测度为零。若不具有此性质的集合比较复杂，可看是否能利用1/n或者有理数将其拆成可列个集合之并，然后证明每个集合的测度为零，由可列可加性保证原比较复杂的集合测度为零。

15．证明性质对可测函数成立的经典步骤

证明对示性函数成立》》》》对非负简单函数成立》》》》对非负Borel可测函数成立》》》对一般可测函数成立

若与积分有关，则有非负情形推广到任意情形时，需要先说明积分存在，也即说明正部、负部积分不同时为无穷。

16．对测度而言

按照 有限测度》》》sigma有限测度》》》任意测度》》》符号测度 的顺序进行

17．构造符合性质的集合A

选取一列单调上升的集合序列An，An无穷趋向于A，则A为所有An之并。

反向可取单调下降到A的集合序列，则A为所有集合之交。

18．证明E|X|---->0

去证明EX+---->0，EX----->0。注意三者中知道两者，可推出第三者，这个轮换的思想常用。