高等数学考研几个重要定理的证明_考研高等数学定理证明

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几个重要定理的证明

1、罗尔定理（考过）

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）上可导，且f(a)= f(b)，则在开区间（a，b）内至少存在一点￡，使得f'()=0.证：∵函数f(x)在闭区间［a，b］上连续

∴由最大最小值定理有：m

(1)若m=M，此时f(x)在［a，b］上为恒定值

对任意的x∈（a，b）都有f'()=0。

（2）若m≠M，因为f(a)= f(b)，则m和M中至少有一个不等于区间的端点值。不妨设M≠f(a)，则存在∈（a，b）使得f()=M。

∴对任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f()，从而由费马引理，可知f'()=0.证毕。

2、拉格朗日中值定理（考过）

如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，那么在（a，b）内至少存在（a，b）一点，使得f(b)f(a)f'()(ba)成立。

证：引进辅助函数(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］内连续，在（a，b）内

f(b)f(a)ba可导 且'(x)f'(x)

根据罗尔定理，可知在（a，b）内至少存在有一点，使'(x)=0，即

f(b)f(a)0 ba

f(b)f(a)f'()，由此可得baf'()

即f(b)f(a)f'()(ba)

证毕。

三、积分中值定理（考过）

如果函数f（x）在积分区间［a，b］上连续，则在（a，b）内至少存在一点，使得

1几个重要定理的证明

b

f(x)dx

af()(ba)

证：由于f（x）在［a，b］上连续，则存在m，M使得

mf(x)M

又由定积分估值定理，有

b

m(ba)f(x)dxM(ba)

a

b

即m

由介值定理得： f(x)dxabaM

b

f()

证毕。f(x)dxaba

四、变上限积分函数求导公式（没考过）

五、牛顿-莱布尼茨公式（没考过）

设函数f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在（a，b）上的任意一个原函数，b

则f(x)dxF(x)

abaF(b)F(a)

证：