积分中值定理(开区间)证明的几种方法_积分中值定理证明

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积分中值定理（开区间）的几种证明方法

定理：设f在[a,b]上连续，则(a,b)，使得

b

af(x)dxf()(ba)。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[a,b]，使得

于是

bbaf(x)dxf()(ba)。[f(x)f()]dx0.a

由于函数F(x)f(x)f()在[a,b]上连续，易证（可反证）：

(这还是书上例2的结论)

(a,b)，使得F()f()f()0，即f()f()。

[证二]：令F(x)x

af(t)dt，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故

(a,b)，使得F(b)F(a)F()(ba)，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）

[证三]：反证：假设不(a,b)，使得 b

af(x)dxf()(ba)，由积分第一中值定理，知只能为a或b，不妨设为b，即

x(a,b),f(x)f(b)1bf(x)dx。aba)f(x)f(b)）由于f连续，故x(a,b),f(x)f(b（或，（这一点是不是用介值定理来说明）

这样

（上限x改为b）xbaf(x)dxf(b)dxf(b)(ba).a

（这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）

矛盾。

[证四]：设f在[a,b]上的最大值为M，最小值为m。若mM，则fc，可任取。

若mM，则x1[a,b]，有Mf(x1)0，故

[Mf(x)]dx0，即 abb

af(x)dxM(b).a

同理有

m(ba)f(x)dx.ab

由连续函数的介质定理知：(a,b)，使得 f()1bf(x)dx.。aba

注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！