李明波四点定理的平面几何证明_平面几何四个重要定理

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李明波四点定理的平面几何证明

郝锡鹏

提要2009年9月19日，李明波导出和角余弦恒等式 cos2cos2cos2()2coscoscos()1 并用此给出他四点定理的一个平面几何证明。1和角余弦恒等式

2009年9月19日，李明波由和角三角函数公式

cos()coscossinsin下推

cos()coscoscos2cos2，(1cos2)(1cos2)[coscoscos()]2，1cos2cos2cos2cos2

cos2cos22coscoscos()cos2()，从上式两面消去cos2cos2再移项便得恒等式

cos2cos2cos2()2coscoscos()12四点定理的证明

在图1中，李明波根据余弦定理得

a2c2b

2cos

12ac

b2c2a2

cos1

2bc

cos()a2b2c2

2ab（1）（2）3-1）3-2）3-3）（（（B

B

a

A

c c1

a1

图 1

b1 c1

b1

b

C

A c

D

C

a1

图 2

D

将(3-1)、(3-2)、(3-3)代入（2式）得

a2c2b122b2c2a122a2b2c122()()()

2ac2bc2aba2c2b12b2c2a12a2b2c12

21

2ac2bc2ab

上式两面同乘4a2b2c2去分母得

b2(a2c2b12)2a2(b2c2a12)2c2(a2b2c12)2

(a2c2b12)(b2c2a12)(a2b2c12)4a2b2c2（4）

将（4）展开并进行繁杂的整理便得四点定理：

a2a12(a2a12b2b12c2c12)b2b12(a2a12b2b12c2c12)

c2c12(a2a1b2b12c2c1)

2a2b2c1a2b12c2a12b2c2a12b12c12（5）

在图2中，上述证明过程的（3-3）式可改写为cos[360()]

a2b2c12

cos()，所以（5）式同样也适合于图2。

2ab