中考 数学证明题辅助线经典做法训练（推荐）_初三数学证明题辅助线

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新智慧辅导中心吴老师：***

初中数学培优训练题

补形法的应用

班级________姓名__________分数_______

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证：

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助

线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。

略证：

3.补成直角三角形

例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别

是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

图

34.补成等边三角形

例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。证明：EC＝ED

分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采

用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。

略证：

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边

形GEHF是平行四边形。

略证：

2.补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角

形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解：

图6

3.补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面积

分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。

略解：

4.补成正方形

例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果

从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方

形的信息，那么问题立即可以获解。

略解：

5.补成梯形

例9．如图9，已知： G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、图8

图7

C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形

来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中

位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

略证：

图9