中点四边形猜想与证明_中点四边形证明
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中点四边形猜想与证明
大连市第四十四中学初二八班***
猜想：四边形中点连线为平行四边形
即：如图1-1，在四边形ABCD中，E、F、G、H为四边中点
求证：四边形EFGH为平行四边形
证明：如图∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
同理：EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
FH
图1-1图1-2 B
那么：由已知条件：EF=HG=1/2BDFG=EH=1/2AC(三角形中位线定理)因为“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以当EF=GF时，即1/2BD=1/2AC，即BD=AC时，平行四边形EFGH是菱形
猜想：当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。
例如：矩形的对角线相等
则：如图1-2，在矩形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是菱形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF=1/2BD（三角形的中位线等于第三边的一半）
同理：HG=1/2BD
∴HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行
四边形）
∵AC=BD
∴1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
同理上结论思路：
由已知条件：EF//HGFG//EH(三角形中位线定理)
因为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，所以当∠EFG=90°时，即∠1=90°，即∠AOB=90°时，平行四边形EFGH是矩形。
猜想：当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。
例如：菱形的对角线互相垂直。
则：如图1-3，在菱形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD（三角形的中位线平行于第三边）
同理：HG//BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
同理：FG//AC；EH//FG
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是菱形
∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直）
∴∠FNO=∠AOB=90°（两直线平行，内错角相等）
∴∠EFG=∠FNO =90°（两直线平行，同位角相等）
∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
BF
H
图1-3图1-
4那么：因为正方形同时是矩形和菱形，所以满足同时使中点四边形为矩形和菱形的四边形，其中点四边形则可能是正方形。
猜想：当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形。
例如：正方形的对角线相等且互相垂直。
则：如图1-4，在正方形ABCD中，E、F、G、H为四边中点。
求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵E、F为AD、AB的中点
∴EF//BD；EF=1/2BD（三角形的中位线平行于
第三边且等于第三边的一半）
同理：HG//BD；HG=1/2BD
∴HG//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
HG=EF=1/2BD（等量代换）
同理：EH//AC//FG；EH=FG=1/2AC
∴四边形EFGH是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行
四边形）
∵四边形ABCD是正方形
∴∠AOB=90°（正方形两对角线互相垂直）
AC=BD（正方形两对角线相等）
∴∠FNO=∠AOB=∠FNO =90°
（两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同位角相等）
1/2AC=1/2BD
即：EF=GF
∴平行四边形EFGH是正方形
（有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形）
2010/4
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