高中几何证明_高中几何证明的方法

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高中几何证明

一、已知平行四边形ABCD，过ABC三点的圆O1，分别交AD.BD于E.F、过CDF三点的圆O2交AD于G。设圆O1.O2半径分别为R,r。

1.求证AC^2=AG*AD

2.AD:EG=R^2:r^

2连接AC、GC。利用两个圆转化角的关系，∠AGC=180-∠DGC=180-∠DFC=∠BFC=∠BAC=∠ACD

于是两个三角形ACG和ADC相似。第一问由此立得。

同样利用上述相似，∠GCA=∠ADC=∠ABC。于是由“弦切角等于圆周角”，说明GC与圆O1相切。于是GC^2=GE*GA。

在两个圆中利用正弦定理，不难发现R/r=BC/CD=AD/CD。此时

AD/EG=AG*AD/AG*EG=AC^2/GC^2=(AC/GC)^2=(AD/CD)^

2最后一个等式仍然源于前述相似

二、因为不能上传图片，所以口叙述一下，高手们都可以想象出来吧

在一个圆的圆上选不重合的四点，，连接成一个非平行四边形非梯形的四边形，也就是内切四边形吧，然后延长其中两条边，交于点A，再延长另外两条边交于点B，然后过A点做圆的两条切线，切线交圆于点C和D，怎样证明B,C,D共线?

用调和点列的方法较为容易但方法的掌握不在高中的要求内

下面采用简单的定理来证明比较麻烦

首先，设圆内接四边形为四边形ABCD,AB与DC交于点p，AD与BC交于点Q，过点Q做圆O的两条切线,切点分别为点E和点F.再设AC与BD交于点R,下面来证明一个更强的结论：p、F、R、E共线.设OQ交EF于L,pR交AQ于M,EF交AQ于点M',连结OF、OE、AL、OA、OD，并延长AL到S.由Menelaus定理，AB/Bp×pC/CD×DQ/QA=1-----------------

1由Ceva定理，AB/Bp×pC/CD×DM/MA=1-----------------

2由1、2，DM/MA=DQ/QA------------------*

另一方面，由射影定理，QE^2=QL×QO-3

由切割线定理，QE^2=QD×QA-4

由3，4，QL*QO=QD*QA

所以O，L，D，A四点共圆