二项分布的期望和方差的详细证明_二项分布的期望和方差

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二项分布的期望的方差的证明

山西大学附属中学韩永权

离散型随机变量的二项分布:

在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(k)Cnkpkqnk，（k0,1,2n q1p）

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnkpkqnk＝b(k；n，p)．求证：服从二项分布的随机变量的期望Enp.kk1证明如下：预备公式：kcnncn1

00n10n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10(pq)n1(cnc1cn...cnq...cnq)1pqn1pq1pq1p1p

kkkknk因为p(k)cnp(1p)nkcnpq,00n1n122n2kknkn0n所以 E0cnpq1c12cnpq...kcnpq...ncnpq npq

00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10=np(cnpqcpqcpq...cpq...cq)1n1n1n1n1p

=np(pq)n1np

所以Enp

方法二：

证明：若 X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X的数学期望。

若设Xi1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n

则XX1X2...Xn，因为 P(Xi1)P，P(Xi0)1Pq

所以E(Xi)0q1pp，则E(X)E[Xi]E(Xi)np

i1i1nn

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。求证：服从二项分布的随机变量的方差公式Dnpq(q1p)

1k2预备公式：k2CnknCnk1n(n1)Cn2

kk1k1k2CnknCn)1]Cn1n[(k11

k1k12kk1k2k1k2nCn)Cn1n(k1)Cn1nCn1n(n12 kCnnCn1n(n1)Cn2

22方法一：证明：DE(E)

iiniEi2Cnpq 2

i0

nnn

Cpq1

nn1nC

i2

ni1n1pqinii2inin(n1)Cn 2pqi2

npqn1npC

i1i1n1pqi1ninpCq0n1n1n(n1)p2Ci2ni2n2pi2qni

npqn1np(pq)n1npqn1n(n1)p2(pq)n2

npqn1npnpqn1n(n1)p2npn2p2np2np(1p)n2p2npqn2p2

22由公式D(X)E(X2)[E(X)]2知，DE(E)

npqn2p2(np)2np(1p)

方法二： 设~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设Xi

n1如第i次试验成功i1,2,0如第i次试验失败n 则i是n次试验中“成功”的次数，E(i)0q1pp，i1

故 D(i)E(i2)[E(i)]2pp2p(1p)，i1,2，n 由于1,2,...,n相互独立，于是

nD()D(i)np(1p)i1