如何灵活利用放缩法等方法证明不等式_放缩法证明不等式例题

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如何灵活利用放缩法等方法证明不等式

储曙晓

不等式的证明有多种方法，如放缩法、数学归纳法等，但是在运用这些方法时，往往又有一定的困难.下面举一例说明.证明：11117.(nN*)222423n

思路1采用放缩法

当n=1时，原不等式成立；

当n>1时，有两种途径：

(1)根据1111(k2,3,,n)，有 k2(k1)kk1k

111 1223(n1)n左边

111111112，n223n1n

而217，当n>4时不成立，所以放缩过大!n4

(2)根据11111(k2,3,,n)，有 22kk12k1k1

111 2222131n1左边

1111111111111 23224235246

11111171117)，恰到好处!(2n2n2n1n142nn14

思路2能用数学归纳法证明吗?

第一步当n=1时原不等式成立，容易验证；

第二步假设当n=k(k∈N*)时命题成立，即1

则当n=k+1时,原不等式的左边=11117.222423k111171.222224(k1)23k(k1)

而11117717，从而不能证明.12222244(k1)423k(k1)

思路受阻！如何摆脱困境？ 这说明111117，放缩过大，需要调整.略小于2222423k(k1)

因为当n=1或2时，原不等式都成立，所以只要证：

11117*.(n3,nN)222423n

1***，右边=，而，22364312361223下面用数学归纳法证明一个预备命题：

证明： ① 当n=3时，命题的左边=1从而命题成立；

② 假设当nk(k3,kN*)时命题成立，即

111171； 2232k24k

那么，当n=k+1时，有

命题的左边=11111711，2232k2(k1)24k(k1)2而命题的右边=

271，4k12因为k2kk2k1，即k21111，,(k1)2kk1(k1)2k

从而71711，24k14k(k1)

即当n=k+1时命题也成立.由①②得证，预备命题成立，即

1

11171(n3,nN*).2224n23n

而7171117，所以1222.(n3,nN*)4n4423n

1117*又因为当n=1或2，上式也成立，所以1222.(nN)，从而原423n

不等式成立也得到证明.