高中数学知识点：不等式的证明及应用_高中数学不等式的证明

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不等式的证明及应用

知识要点：

1．不等式证明的基本方法：

ab0ab

（1）比较法：ab0ab

ab0ab

用比较法证明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）综合法：利用题设、不等式的性质和某些已经证明的基本不等式（a2 | a a0;a2b22ab;a3b3c33abc等），推论出所要证的不等式。综合法的思索路线是“由因导果”即从一个（一组）已知的不等式出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直至推导出所要求证的不等式。

（3）分析法：“执果索因”从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

证明不等式通常采用“分析综合法”，即用分析法思考，用综合法表述。

2．不等式证明的其它方法：

（1）反证法：理论依据AB与BA等价。先否定命题结论，提出假设，由

此出发运用已知及已知定理推出矛盾。根据原命题与逆否命题等价，A得证。

（2）放缩法：理论依据 a > b,b > ca > c B

（3）函数单调性法。

3．数（式）大小的比较：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函数单调性法

4．不等式在函数中的应用：

（1）求函数的定义域（2）求函数的值域（3）研究函数的单调性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各项为正，一边为常数，等号可取。

（2）绝对值不等式|a||b||ab||a||b|的应用。其中|ab||a||b|取等号的条件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等号的条件是ab。

6．方程与不等式解的讨论

（1）一元二次方程ax2

a0,b2bxc0有严格的顺序性： 及x1,2b2a4ac0,bx1x2acxx12a。

（2）函数与不等式：利用函数图象找出等价关系，转化为不等式问题去解决。