强化命题证明一类数列不等式_数列型不等式证明

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该文发表于《中学数学教学参考》2006年第12期

强化命题证明一类数列不等式

201203华东师大二附中任念兵数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型，其中一类形如

in0n1C（C为常数）ai的证明题难度较大.由于此类不等式的右边是常数，所以数学归纳法证明无法实现归纳过渡，但通过对归纳过渡过程的研究,可以放缩右边的常数,将命题加强为

in0an1iC1,其中gngn0表示关于正整数n的函数式,从而可以构造单调递减数列巧妙的证明这类问题.例1：求证：1

9111nN* 2252n14

91111„„„„„„（1）252n124gn分析：①首先假设命题可以强化为

接着思考的问题自然是：要使加强命题成立，gn应满足什么条件呢？

②既然加强命题（1）成立，则可以利用数学归纳法加以证明：

111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(2)n1时, 94g1归纳假设1

91111,接下来要证 252k124gk111111„„„„„„„„„„„„„„(3)229254gk12k12k3而由归纳假设只能得到1

9111111.如果能证得252k122k324gk2k32

11111，即 4gk2k324gk1111.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4)gkgk12k32

则可以由不等式的传递性知道（3）式成立，从而由归纳法原理证明了加强命题（1）.从上述分析可知, gn必须同时满足(2)(4)两式.③明确gn应满足的条件后,我们就可以“确定”gn的表达式了.观察(4)式的结构,不等式右边分母是二次多项式,于是我们考虑到,如果gn是一次多项式,则不等式左边通分后也是一个二次多项式,这样(4)式就转化为两个二次多项式的比较,从而可以通过gn的系数控制使(4)式成立.设gnanb(a,b为待定的常数), 将gnanb代入(4)式知

a2k32akbakab对kN*恒成立,整理得

4ak212ak9aa2k22aba2kbab对kN*恒成立,比较各项系数得

a4,b4.又因为gnanb同时满足(2)式,代入得ab36.所以,不妨取a4,b4,5

即得gn4n4.从而,原不等式可以加强为:

11111

nN*.„„„„„„„„„„„„„„„(5)

9252n1244n4

④将上述分析过程略加整理就能得到加强命题的数学归纳法证明,而下面利用数列单调性的方法更为简捷.证明:记fn

fn1fn

1111,则有 9252n124n4

2n32



1111

220即fn单调递

4n144n44n12n94n12n8

减,故fnf1

,加强命题(5)得证.984

注:上述证明的关键步骤fn1fn0实际上就是分析过程中的(4)式.我们不难发现处理此类问题的一般步骤是:首先假设加强命题

in0



n

成立,C

aign接着明确gn应满足的条件，然后确定gn的表达式，最后构造单调递减数列完成巧妙的证明.按照这样的思路我们再看下面两个例子:

11115

例2:求证:23nnN*.212121213分析: 假设加强命题为：

111151

.gn应同时满足23n2121213gn21

151

.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(6)

213g1111

.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(7)k1

gkgk121

观察(7)式的结构,不等式右边的分母是指数结构,因此我们考虑gn是指数结构.设

和

gna2n,将gna2n代入(8)式知a2k12k11恒成立,故有a1.又因为

gna2n同时满足(6)式,代入得a

3377

.因此得a1,不妨取a,即得gn2n,4848

以下略.例3: 已知正整数n1,求证: 1分析: 假设加强命题为：11

1119

.2！3！n!5

11191

.gn应同时满足

2！3！n!5gn191

.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8)

25g2111

.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(9)

gkgk1k1!

k

1对k2恒成立,故有a2.又因为gnan!同时满足(8)式,a

和

观察(9)式的结构,不等式右边是阶乘结构,因此我们考虑gn是阶乘结构.设gnan!.将

gnan!代入(9)式知

代入得a

.因此得a2,不妨取a2,即得gn2n！,以下略.33

本文举例探讨了如何强化命题来证明不等式

in0

n

n

a

n

i

C，这里有几点需要加以说明:

①将

in0



111,关键是明确gn应满足的条件和gn的式子结构.C强化为Caiagnini



根据数学归纳法的思考过程可以确定gn应满足的条件，而gn的式子结构是由an决定的:

若an是多项式则gn是多项式,若an是指数结构则gn是指数结构,如此等等.然后,利用待定系数法便可求出合理的gn（这样的gn往往不唯一,但系数有范围限制）.②强化命题后,我们利用数列的单调性来证明加强命题,这不仅简化了证明过程,而且缩小了

in0



n

17341的上界.如例1的上界可以缩小为,例2的上界可以缩小为，例3的上界可以缩小

7221ai

为.另外，我们还可以通过改变待定系数来调整gn,进一步缩小的上界.a4iin



n

③本文研究的不等式

in0

n



n

都是收敛C具有深刻的高等数学背景.实际上,这些级数

aiaiin



的,in0

n



C就是对收敛级数的上界估计.如例3的背景是级数ai



i!e1,因此有

i1



近年来的各地高考中以高等数学知识为背景的问题频i!e15.值得一提的是，i1

i1

i!

频出现，例2实际上就是从2006年高考福建卷的压轴题的关键步骤中提炼出来的问题.