45第二讲 证明不等式的基本方法_基本不等式的证明方法

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第二讲证明不等式的基本方法

班级________姓名________考号________日期________得分________

一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号.)

1.设P则P､Q､R的大小顺序是()

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.Q>P>RD.Q>R>P

解析:即PR;

又,即R>Q;

故有P>R>Q.故应选B.答案:B

2.已知a>2,b>2,则a+b与ab的大小关系是()

A.a+b>abB.a+b

C.a+b≥abD.a+b≤ab

解析:解法一:∵a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1,∴(a-1)(b-1)>1,即ab-a-b>0,∴ab>a+b,故选B.解法二:a2,b2,0

1a111

2,0b2,01

a1

b1,即0ab

ab1,0abab,故选B.答案:B

3.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则()

A.x>0,y>0B.x

C.x>0,y0内

解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C､D.假设x

∴x+y

又xy≠0,∴x>0,y>0.答案:A

4.若a,b∈(0,+∞),且

a≠b,M

()

A.M>NB.M

C.M≥ND.M≤N

解析:∵a,b∈(0,+∞),且a≠b,N ,则M与N的大小关系是 MN,故应选A.答案:A

5.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T

A.T>0B.T

C.T=0D.无法判断T的正负

解析:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a+b+c)

∵abc>0,∴上述不等式两边同除以2abc, 2222222111,则()abc

111a2b2c

20,故选B.得Tabc2abc

答案:B

6.已知a,b,c,d都是正数,S

()

A.S1 abcd,则有abcabdcdacdb

C.S>2D.以上都不对

解析:S>

答案:B

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:

(1)先降价a%,再降价b%;

(2)先降价b%,再降价a%;

(3)先降价1(a+b+c+d)=1.abcdabab%,再降价 %;22

(4)一次性降价(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是________.解析:设降价前彩电的价格为1,降价后的彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%,x2=(1-b%)(1-a%)=x1,ababx31%1%22

211ab% ab%,

4x41ab%1ab%a%b%

a%b%x1x2,x3x1a%b%0,2

x3x1x2x4.答案:方案(3)

28.已知|a+b|

①a-b+c;③a

其中一定成立的不等式是________(把所有成立的不等式的序号都填上).解析:∵|a+b|

∴c

∴-b+c

故①②成立,③不成立.∵|a+b|

∴|a|-|b|

∴|a|

答案:①②④

9.函数

y的最大值为________.解析:函数的定义域为

[1,6].y212

≤[212]22]3515.y2≤15.由题意知y00y1即x

时等号成立.答案

10.已知x+2y+3z=

解析:

22

x22y23z2322≥3x 

(3x2yz)22228318,则3x+2y+z的最小值为________.17

当且仅当x=3y=9z,等号成立.∴(3x+2y+z)≤12,即

当

x=-yz时,171717

为最小值.答案

三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

a2b2c2

11.(2010·浙江自选模块卷)设正实数a,b,c,满足abc≥1,求a2bb2cc2a的最小值.a2b2c22[a2bb2cc2a]≥

abc,a2bb2cc2a解:因为 222abcabc所以≥1,a2bb2cc2a3

当a=b=c=1时,上述不等式取等号, a2b2c2

所以的最小值为1.a2bb2cc2a

12.(2010·江苏)设a,b是非负实数,求证:a+b+b).33

证明:a+b+b)=(a-a-b

2232

ab当a≥b时当ab时,a3b3

a2b2≥0,a3b3a2b2.评析:证明不等式,常用方法是作差比较法.13.已知x,y,z是正实数,求证:

分析:注意到所证不等式的特点,可考虑构造向量,使用柯西不等式的向量形式证明.证明:∵x,y,z是正实数,令

aabab,222,b2

x2y2z2≤[(yz)(xz)(xy)],yzxzxy

当且仅当xyz时,等号成立,即xyz≤2

x2y2z2

()xyz,zyxzxy

x2y2z2xyz≥.yzxzxy22

评析:使用柯西不等式时,既要注意它的数学意义,又要注意它的外在形式.当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大.