5高三第一轮复习——比较法、分析法、综合法、换元法证明不等式_分析法证明不等式例题

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高三第一轮复习——比较法、分析法、综合法与换元法证明不等式

1.比较法、分析法、综合法证明不等式

“比较法”、“分析法”、“综合法”是不等式的证明最基本的三种方法，是高考考查的重要思维方法，虽然证明不等式的方法灵活多样，但都是围绕这三种基本方法展开。

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

证：bc2ca2ab2b2cc2aa2bcba2b2c2abc2b2c 

cb[a2bcabc] cbabac

abc,cb0,ab0,ac0，故cbabac0，即bccaabbccaab 22222

2【评注】用比较法证明不等式的关键是变形，变形的目的为了第三步判断服务，作差变形的方向主要是因式分解和配方。作商比较法在证明幂、指数不等式中经常用到，同时应注意作商法时除式的正负。

二.分析法

从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判断这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件已具备，那么就可以断定所证不等式成立。

2ab例2．已知ab0，求证：8aab abab28b

222ab证：要证8aab abab28b

2ab只需证8aab

222ab，8b

ab0，只需证ab

22aa2ab

22b，即ab

2a1a2 欲证ab

2a1，只需证a2a，即a显然成立。

欲证ab

22a1，只需证a2，即ba显然成立。a2ab1成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。

【评注】分析法是“执果索因”，重在对命题成立条件的探索，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件。叙述虽繁锁，但也要注意书写的严谨规范，“要证”、“只需证”这样的连接关键词不可缺少。

三.综合法

它是一种“由因执果”的证明方法，即从一个已知或已证明的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推出欲证的不等式。

例3.若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg

证：要证lgabbccalglglgalgblgc 222abbccalglglgalgblgc成立 22

2即证lgabbccalgabc成立。222

abbccaabc成立。222只需证

abbccaab0,0,ca0，222

abbccaabc0成立（*）222

又a,b,c是不全相等的正数，（*）式等号不成立，原不等式成立。

【评注】综合法实质上是分析法的逆过程，在实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即用分析法分析，用综合法书写。也可证明过程中即使用分析法，又结合综合法来证明不等式成立。

2.换元法证明不等式

换元法是指对结构比较复杂、量与量之间关系不太直观的命题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式。换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有：（1）三角换元法、（2）均值换元法、（3）几何换元法及（4）增量换元法。

一.三角换元法：

把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。

2222例1.已知a，bR，且ab1，求证：a2abb

2证明：设arcos，brsin，其中r1，0，2

2222222则a2abbrcos2rsincosrsin 

r2cos2r2sin2

2rsin2242

a22abb22，原不等式得证。

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。

例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b22225 2

证明：因为a，bR且ab1，所以设a

211t，bt(tR)222

则：a2b22211t2t2 22

2255tt22

25252t222

即abb2

3.几何换元法：

在△ABC中，ABc，BCa，CAb，内切圆交AB、BC、CA分别于D、E、F，如图，则可设axy，byz，czx，其中x0，y0，z0。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。2225，原不等式得证。2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：abc3 bcaacbabc证明：设axy，byz，czx，其中x，y，z0

则abcxyyzzx bcaacbabc2z2x2y

1xzyzyx 2zxxyxy

1xzyzyx2223 2zyxyzx

原不等式得证。

4.增量换元法：

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。例4.已知a2，b2，求证：abab

证明：设a2m，b2n，显然m0，n0

则abab2m2n2m2n

4mn42m2nmn mnmn0

故abab