数学高考专题用构造局部不等式法证明不等式_不等式的构造证明方法

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2014年数学高考专题--用构造局部不等式法证明不等式

有些不等式的证明，若从整体上考虑难以下手，可构造若干个结构完全相同的局部不等式，逐一证明后，再利用同向不等式相加的性质，即可得证。

例1.若a，bR，ab2，求证：a1*2b12

分析：由a，b在已知条件中的对称性可知，只有当ab1，即2a13时，等号才能成立，所以可构造局部不等式。证明：2a1332a13·(2a1)·3·(a2)3323

(b2)3

(a2)(b2)2 33同理，2b1∴a1

2b1

222x12x2xnxn1…x1x2 例2.设x1，x2，…，xn是n个正数，求证：x2x3xnx1

…xn。

证明：题中这些正数的对称性，只有当x1x2…xn时，等号才成立，构造局部不等式如下：

222x12x2xnxn1x22x1，x32x2，…，xn2xn1，x12xn。x2x3xnx1

将上述n个同向不等式相加，并整理得：

222x12x2xnxn1…x1x2…xn。x2x3xnx1

例3.已知a1，a2，…，an均为正数，且a1a2…an1，求证：

22a12a2an1…。a1a2a2a3ana12

a12aa21a1，证明：因a1，a2，…，an均为正数，故a1a24

22a2a2a3anaa1a2，…，nan。a2a34ana14

又∵a1a2a2a3aa111…n(a1a2…an)，44422

∴把以上各个同向不等式相加，整理得：

22a12a2an1…a1a2…an1 a1a2a2a3ana12

22a12a2an1故…。a1a2a2a3ana12

例4.设a，b，cR，且abc1，求证：*3111。333a(bc)b(ca)c(ab)2证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有当abc1时，才有可能达到最小值31bc1，此时刚好3。所以，可构造如下局部不等式。2a(bc)4bc2

∵1bc11，233a(bc)4bc4abca

1ac11，2b3(ac)4ac4b3acb

1ab11，2c3(ab)4ab4c3abc

111a3(bc)b3(ca)c3(ab)1111bcacab()()abc4bcacab∴



1111313() 2abc2abc2

a2b2c2

1。例5.设a，b，cR，且abc2，求证：bccaab*

a2bc证明：由a，b，c在条件中的对称性知，只有，才可能达到最小值1，此时刚。所以，可构造如下局部不等式。bc4

a2bc。所以，可构造如下局部不等式。bc4

a2bcb2cac2ab∵a，b，c bc4ca4ab4a2b2c21∴(abc)abc bccaab2

a2b2c2

即1 bccaab