第 29 讲 不等式的证明(第1课时比较法与综合法)_不等式的证明比较法

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第 29 讲 不等式的证明-比较法与综合法

（第1课时）

差比法比较法商比法综合法方法

分析法

反证法数学归纳法

放缩三角换元换元不等式的证明整体代换配方

拆项技巧利用函数的值域和单调性一式的平方不小于零

利用基本不等式均值不等式倒数的和不小于2

 利用不等式的性质

重点：1．差作法和商比法；2．综合法和分析法；3．其它方法的简单应用。

难点：1．分析法的灵活运用；2．放缩技巧的使用。

3．了解证明不等式的其它方法。

⑵ 证明不等式常用的主要技巧：放缩，换元，配方，拆项，利用基本不等式，利用不等式的性质，利用函数值域和函数的增减性。

⑶ 证明不等式常用的基本不等式：

① 一式的平方不小于零。

2222即 a0（aR）或(ab)0（a,bR）。后者的变式为：ab2ab 或

a2b22ab。

② 两个大于零的式子的算术平均值不小于它们的几何平均值。即

ab

ab（a,b0），可推广至多个式子。

2③ 倒数的和不小于2。

ba

2（a,b同号）。ab

上述基本不等式中，当且仅当 ab 时取等号。

2222

前三个基本不等式的内在联系为：a0 (ab)0  ab2ab 

即

aab

ab2ab 

ab

ab。2

1．比较法 ⑴ 差比法

要证AB，只要证AB0。例．求证：3(a2b)8ab。证明：∵ 3(a22b2)8ab3(a

4b222)b0，3

3∴ 3(a2b)8ab。

点评：本题使用差比法。证明不等式时，要判断一式是否大于零，有时需要使用配方法以及基本不等式。本题使用了配方法以及基本不等式“一式的平方不小于零”。

⑵ 商比法

要证AB，当A，B0 时，只要证法。

例．已知 ab0，求证：aabbabba。

A

1。当不等式两边是积或幂的形式时，可用此B

aabbaabba

()ab 证明：baab

bab

aa

∵ ab0，∴ 1，又 ab0，∴()ab1，bb

abba

又 ab0，ab0，∴ aabbabba。

点评：本题使用商比法。

2．综合法

所谓综合法就是从已知或以证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果），综合法的特点是表述简单、条理清楚，所以在实际证题时，往往先用分析法来寻求证明途径，而后用综合法来书写证明过程。

例．求证：log2log52。

证明：∵ 底数大于1的对数函数是增函数，∴ log2log5log23log53log

2log2log5log527 32

252

3点评：本题使用综合法，利用了缩放技巧。所谓“缩放”，就是在待证不等式两边的值的中间找一个或多个中间量，再根据不等式的传递性来间接证得结论成立。缩放时可以舍去或加上一些项；也可以加大或减小一些项；还可以把分子或分母放大缩小。证对数不等式的关键在于利用对数函数的性质。

1。1（n为正整数）

2n1n22n111

证明：∵  ⑴

2nn1n111

 ⑵

2nn2n

例．求证：„„„„

111（n）2nnnn

11111

把上述各式相加得 nn，2nn1n22nn

1111即 1。

2n1n22n

点评：本题使用综合法，利用了放缩技巧。这里是把各式相加，有时需要把各式项乘，例如

习题中的第7题。

例．若 p0，k为大于1的整数，求证：(1p)1pk。

证明：∵ k为大于1的整数，故利用二项式定理得(1p)1CkpCkpp，∵ p0，∴ 1CkpCkpp 的所有项都是正的，∴ 1CkpCkpp1Ckp1kp，∴(1p)1pk。点评：本题使用综合法，利用了二项式定理以及缩放技巧。例．求证：11。!22!33!nn!(n1)!（nN）证明：∵ kk!(k1)!k!（kN），∴ 原不等式左边(2!1!)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!]

k

k

k

k

k

k

(n1)!1(n1)!右边

点评：本题使用综合法，利用了拆项技巧。

1x23x4例．求证不论x为何实数，都有 27。

7x3x

4x23x4

证明：设 2y，即(y1)x2(3y3)x4y40，x3x4

∵ x为实数，∴ 9(y1)16(y1)0，即(7y1)(y7)0，1x23x41

∴ y7，即 27。

7x3x47

点评：本题使用综合法，利用函数的值域证不等式。即要证ya（或ya），可先找出

一个关于y的不等式，再解出y。

例．已知 2x4y1，求证：xy

。20

(14y)，2

1111

则 x2y2(14y)2y2(5y1)20，204205111

∴ x2y2，当 x，y 时等号成立。

2010

5证明：由 2x4y1 可得 x

点评：本题是条件不等式证明，证条件不等式与证一般的不等式并没有什么不同，关键在于

条件的转化应用。可以利用条件消元，再运用比较法证明。要证最后一式的大于零或小于零，往往需要配方。

DS

02,03

不等式证明 差比法 商比法 综合法 放缩 换元 配方 拆项

利用基本

不等式 2 利用不等式的性质 利用函数值域 技巧利用函数的增减性2 3 4 5 6 7 8

√ √√√ √ √√√√√√ √√

1．a、b为互不相等的正数，求证：ababab。证明：∵ ababab(ab)(ab)0，∴ ababab。

点评：本题使用差比法，使用技巧“一式的平方不小于零”。2．已知a2，求证：loga1alogaa1

1loga(a1)loga(a1)1，loga(a1)

loga(a1)loga(a1)

∵ a2，∴ loga(a1)0，loga(a1)0，解法一： loga1aloga(a1)

loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2

∴ loga(a1)loga(a1)[]1

244

∴ loga1aloga(a1)0。

解法二：∵ a2，∴ loga(a1)0，loga(a1)0，loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2

而 loga(a1)loga(a1)[]1

244

loga1aloga(a1)1∴ 1，loga(a1)loga(a1)loga(a1)loga(a1)∴ loga1aloga(a1)0。

点评：解法一使用差比法，解法二使用商比法。

2463

3．若 a0，求证 1aaa4a。

证明：∵ a0，∴ 1a2a2a ⑴，aa2aa2a ⑵，⑴+⑵得 1aaa4a。

ab

ab。2

1111

4．求证：22222（nN）。

123n1111

证明：∵ 2（k=2，3，„，n）

k(k1)k1kk

1111111

∴ 原不等式左边2()()()

1223n1n1

1(1)22右边

nn

点评：本题利用基本不等式

点评：本题使用综合法。利用了拆项技巧。改用

111111

()也可。22nn1(n1)(n1)2n1n1

1222

5．若 xyz1，试证：xyz。

证明：令 xt，y2t，z3t（t为实数），333111

x2y2z2(t)2(2t)2(3t)2

33312141

tt2t4t22t9t2 9393911

14t2（∵ t为实数，∴ t20）33

当 t0，即 xyz 时，上式取等号。

点评：本题使用综合法，利用了换元技巧。题设为线性方程形式的不等式证明，根据线性方程的特点适当引入参数可使问题简化。

6．已知 0x1，a0，a1，求证：loga(1x)loga(1x)。证明：∵ 0x1，∴ 01x1，1x1，01x1，当 a1时，loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0

当0a1时，loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0

∴ loga(1x)loga(1x)。

点评：本题使用综合法，利用了函数增减性。

135991。24610010

99100123456

证明：∵ ，，，„„，

100101234567

***

把上述各式两边项乘得 ，

246100357101

13599

两边同时乘以  得

246100***013599()()()，***1001359921即(，)

***1∴ ，24610010110

7．试证：

∴ 原不等式成立。

点评：本题使用综合法，利用了放缩技巧。