贝努利不等式的证明与应用_浅谈不等式的证明方法

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贝努利（Bernouli）不等式的证明及应用

xR且x>1，n为整数；有1x1nx（P51）

证法1：（数学归纳法）

（1）当n1时，等式显然成立

2当n2时，1x12xx1+2x 2n

（2）假设nk时，等式成立，（k2）有1x>1kx

当n=k+1时，1xk1k1x1x>1kx1x1xkxkx2>1k1x k

当nk1时不等式成立

综上可知不等式成立

nnn1n2n2n1xxy……xyy证法2：联想到xyxy

1x1nx1x

当x>0时，1x>1 knn11xn2……1 

x1x

nn11xn2……1>nx n1x1>nx1x>1nx

当1

x1xn11xn2n……1>nx1x>1nx 

nn1x>0,1x>1nx成立 证法3：当1nx0时，1nxn1n1……10，则1nx1 nn1

证法4：1x1x

2kk1n1xk1x>x 1x1x>x321x1x>x1xn1x>n1x1xn>1nx 

nn11x1x>x……

证法5：只证1nx

1xn

1xn

an1an

1n1x

1x

n1



1nx

1x

n



1n1x1nx1x

1x

n1



nx2

1x

n1

an为单减数列，故an

应用举例

1． 已知i,m,nN且1

ii

（1）证明：niAm

（2）证明：1m>1n 证：（1）略

n

nn

>1；1mm>1m1n（2）1

nm

1m>1n

2．（07湖北21）已知m,nN

（1）用数学归纳法证明：当x>1时，1x>1+nx

n

nm

11m1

（2）对于n6。已知1，求证：

n32n32

nn

（3）求出满足等式34……n2n3的所有正整数n

n

n

nnm

1m

证：（1）略（2）当n6，mn时；由（1）知11>0 

n3n3

于是1

m



m1

1

n3n3

n

n

nmn

nm

111

m

（3）由（2）知，当n6时，12n11111

11……1

2n3n3n32222

n23n

n2n13

……

nn

即34……n2

n

n

nnn

讨论n1,2,3,4,5的情况，经检验，可求n只有n2,3

推论

xnx

n

1）xR，x>1且x011x



>11x 2）xR，>1或

>1x,x>1xR，0

1x,x>1 3）nN,n>1,t>0；则有tn1nt1

4）设a,>0,nN,n>1，则annn1an1n当且仅当a时取到“=”n

证：annan1na1

nn1an1n

x

3.（07四川理22）设函数fx1

1n,nN,xR,n>1

n

（1）当n=6时，求1

1x的展开式中二项式系数最大的项

（2）xR，证明

f2xf22

>f'

x

n

（3）是否存在aN,使得an

k



1

k1k若存在，试证明你的结论，并求出a的值；若不存在，请说明理由？

解：给（3）一个全新的证法

m2m

mN且m>1,11m11C21m1mm……Cmm

>2

1

1m111

m,有贝努利不等式annn1an1n m1

mm1

m

可得1>m1111

1m1

1m1m1m1m



1

1m

11mm是单调增函数。从而



11m16m

m

6mm

6m5m16m1>1m6m116m1，tn

>1nt1

16m1616

即1；两边6次方

1111

k

m6m6

mk1n

k

从而有2n

k1

1k

综上存在a=2使得不等式恒成立。

m1

1m111m

11mm1

（后加：1m1m……11



m

m111m+1

m）