均值定理证明不等式的方法技巧（材料）_均值不等式的证明方法

均值定理证明不等式的方法技巧（材料）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“均值不等式的证明方法”。

均值定理证明不等式的方法技巧

1． 轮换对称型。

例1．若a,b,c是互不相等的实数，求

证：a

b

c

abbcac.2

策略：所证不等式是关于a,b,c的轮换对称式，注意到ab即可。

证明：a,b,c是互不相等的实数，a

2ab，然后轮换相加

b

2ac,b

c

2bc,ac

2ac.b

将上面三个同向不等式即a

相加得：2a



c

2ab

bcac。

b

c

abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技

巧。

2． 利用“1”的代换型。

例2．已知a,b,cR,且 abc1,求证： 策略：做“1”的代换。证明：

1a1b1c

abc

a



abc

b



abc

c



1a



1b



1c

9.acacbb

332229.bacbca

3.逆向运用公式型。

策略：为脱去左边的根号，将a

12,b

12转换成1

1a

2

1,1b

2



,然后逆向运

用均值不等式： 若a,bR



则 ab

ab2

.例3．已知a,bR,ab1求证： a



b

2.证明：a

1212

34

1

a

2b2b

1232

1a

1234a2.同理b12

于是有 a

ab2.点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。

4． 挖掘隐含条件证明不等式。

例4．已知a,bR,ab1求证：1









1111.ab9

a,bR,ab1

12

ab说明a,bR,ab1的背后隐含策略:由于ab

4ab

2

着一个不等式ab



.14

证明：a,bR,ab1ab。

11111ab12

而 11111189.abababababab11

119.ab

5． 用均值不等式的变式形式证明不等式。例5．已知a,b,cR,求证： a2b2

b

c

c

a



2abc.策略：本题的关键在于对a2b2,b2c2,c2a2的处理，如果能找出

a

b与ab间的关系，问题就可以

解决，注意到



a

b

2ab2a



b



ab

2a



b





ab 其中a,b,cR即可。

证明：a,b,cR

222222

ab

abc

bc。a

b

c



c

a



三式相加得：a2b2

b

c

c

a



2abc

a

点评：解题时要注意ab2ab的变式应用。常用



b2



ab2

(其中

a,bR)来解决有关根式不等式的问题。