证明不等式方法探析_不等式证明方法探讨

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§1 不等式的定义

用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含

sinx1，ex＞0，2x＜3，5x5不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如2x＋2y2xy，等。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；也分一次或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如

是超越不等式。lg(1＋x)＞x

不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于

号)“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为

F(x,y，,z)G(x,y，,z)(其中不等号也可以为＞，，＜ 中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

§2 不等式的最基本性质

性质1：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；(对称性)

性质2：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；(传递性)

性质3：如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；(加法则)

性质4：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz；(乘法则)性质5：如果x＞y，z＞0,那么xyxy＞；如果x＞y，z＜0，那么； zzzz

性质6：如果x＞y，m＞n，那么xm＞yn；(充分不必要条件)

性质7：如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞yn；

性质8：如果x＞y＞0，那么xy.如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，下面将介绍一些重要的不等式。nn

几个简单的证明方法

一、比较法：

ab等价于ab0；而ab0等价于

a

1.即a与b的比较转化为与0或1的 b

比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：a1a；n(n1)n； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：

log3lg5（lg3lg

52)lglglg4； 2n(n1)

n(n1)；

④利用常用结论：

k1k

1k1k



12k；

11111111 ；（程度大）22

k(k1)k1kk(k1)kk1kk

111111()；（程度小）22

(k1)(k1)2k1k1kk

1五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin；

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1)；

x2y

2已知221，可设xacos,ybsin；

abx2y2

已知221，可设xasec,ybtan；

ab

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出P(k1)成立，则

P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(1)成立，且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P(1),P(2)成立，且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有

m

n成立.七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.构造法

构造法作为一种重要的化归手段，是数学中一种富有创造性的思维方法，在数学解题中尤其在证明不等式中有着重要的作用.文章采取了归纳总结的方法．通过构造几种数学模型，即：函数模型、方程模型、不等式模型、复数模型、矩阵模型，探讨构造法在证明不等式中的应用.3.1.1 构造函数或方程：

一、利用函数的单调性：

利用函数的单调性，不但可以证明许多不等式，还是发现和构造新不等式的基本工具.设f是定义在R的子集E上的有限函数，若x1,x2E,x1x2,f(x1)f(x2)，则称f在E上递增；若f(x1)f(x2)，则称f在E上严格递增；若f(x1)f(x2)，则称f在E上递减；

若f(x1)f(x2)，则称f在E上严格递减.递增与递减统称为单调，即

f(x)f(xx)f(x)当x0时不变号.下面，我们利用函数的单调性来证明第一章中的AG不等式.AG

不等式：An

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.n

1nx

1x

(ak),x0nk1

证明：令f(x).1n

(a)n,x0kk1

则f在[,]上严格递增(当a1a2an是不全相等的正数时)，于是f(0)f(1)，即

GnAn成立.二、抛物线(二次方程)技巧：

某些代数式配方后，化为f(x)ax2bxc的形式，若a0，则b4ac0等价

于

f(x)0

.有些

f(x)

形式上不是代数式，例如，f(x)asinxcosxb(sinxcosx)1,(a0)，令tsinxcosx，就可以化为t的二次三项

式；有时也可以利用卡丹公式：三次代数多项式f(x)x3pxq有三个实根的充要条件是判别式()()0.下面，我们用抛物线技巧来证明柯西不等式.三、极值方法：

极值方法包括Lagrange乘数法、最小二乘法等.函数的极值理论是发现和证明不等式的万能武器，我们可以利用变量的对称性，用局部固定法，将多元函数的极值转化为一元函数的极值处理.下面，我们用Lagrange乘数法来证明第一章中的AG不等式.q

2p2

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.AG

不等式：An

n

证明：AG不等式求f(x)(x1x2xn)在条件x1x2xna下的最大值.作辅助函数F(x)(x1x2xn)(x1x2xna).n

1n

F对xk求偏导数Fx'k0，得出

f(x)nxk,k1,2,,n.(3.1.1)对k求和，得到nf(x)n(x1x2xn)na.即

f(x)a(3.1.2)从(3.1.1)式、(3.1.2)式得出xk

aaaa

.于是f在(，,)点取得最大

值nnnn

axxxna，即GnAn.，所以

1

2nnn

§2 微积分法

一、微分方法：

为证f(x)g(x)，有时归结为证f(x)g(x)，可使问题简化，例如第一章中的AG不等式的证明.对于某一类积分不等式，常将积分上限b换成变量x，即这往往是十分有效的证明技巧.二、积分方法：

积分方法包含用积分的性质和积分不等式.特别是积分的单调性.利用积分还可以证明某些数列或级数不等式，除了通常的黎曼积分、勒贝格积分外，用各种新积分来证明不等式是很有前途的的新方向.下面，我们用积分方法来证明第一章中的AG不等式.AG

不等式：An



b

a

f变成F(x)f，对F求导数，a

x

a1a2anGn，其中ai,bi0，i1,2,,n.n

证明：不妨设0a1a2an，于是必存在某个k,1kn1，使得akGnak1.用An表

knGn1ajAn11

1示An(a,q),Gn表示Gn(a,q)，则1qj()dtqj()dt0.ajtGnGGNGntj1jk1n

即有 GnAn成立.八、利用中值定理：

包括微分中值定理和积分中值定理.在现在数学分析教材中，它们都是写成等式形式，例如

f(b)f(a)f(c)(ba)，式中的c，只知道与a,b,f有关.但对于许多应用来说，只要导数f'(x)的上、下界：mf'(x)M，就得出不等式：

m

f(b)f(a)

M.ba

因此，中值定理的实质是由不等式的形式揭示出来的.