例谈分式不等式的证明_浅析不等式的证明方法

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例谈分式不等式的证明

邓超（福建省福州市第十八中学350001）

不等式的证明是高中数学教学的一个难点，我们遇到的大多数不等式都是以分式不等式的形式出现的，这就更令人头疼。事实上，分式不等式的证明还是有一定规律可寻的，下文将做一简单介绍。

一、利用证明不等式的常用方法

对于一些不太复杂的分式不等式，直接采用分析法、综合法、比较法等常用的不等式证明方法即可。

1111。12a12b12c

111证明：要证原式只要证()(12a)(12b)(12c)(12a)(12b)(12c)，12a12b12c例

1、设a,b,cR，且abc1，求证：

即证：(12b)(12c)(12a)(12c)(12a)(12b)(12a)(12b)(12c)，即证（展开整理）：abc3（其中使用了abc1），而由均值不等式得abc3，故原不等式成立。

例

2、（数学教学问题788）已知a,b,cR，且abc1，求证： 

abc9 abcbcacab

4证明：注意到：abc1bcbc(1b)(1c)，bca1acac(1c)(1a)cab1abab(1，故原不等式可化为： )a(1b)

a(1b)(1c)b(1c)(a1c9)a(1b)(1)4

aa2bb2cc29，要证此式只要证（通分即可）：(1a)(1b)(1c)4

1a2b2c29（其中使用了abc1）即证：，(1a)(1b)(1c)4

只要证：4(1abc)9(1a)(1b)(1c)，（(1a)(1b)(1c)0）

即证（展开整理）：acbcca9abc0

（此处用到(abc)ab+c2ab2bc2ca和abc1），只要证

2222222111，9（上式同除abc）abc

事实上，由柯西不等式得：

11111

1()(abc)9，故原不等式成立。abcabc

注：此不等式的证明采用了分析法，没用太多的技巧，关键的一步是能够看出原不等式可化为（1）

式，这将大大简化计算；否则要证明一个6次的不等式，这将大大增加计算。

二、利用重要不等式

1、利用排序不等式

分式不等式中有不少是对称的（即各个未知元的地位平等），因此我们往往可以利用“不妨设”创造出排序不等式所需的条件，然后利用这一重要不等式给出证明，如例3。当然并不是说排序不等式只能证明对称不等式，这在例4中将会看到。

例

3、（数学通报问题1651）设x、y、z是正数，nN，求证：



xyz

3。

nxyzxnyzxynzn

2证明：因为此不等式是对称的，故不妨设xyz，则nxyzxnyzxynz，所以

1。至此条件创造完毕，可以利用排序不等式了。

xynzxnyznxyz

xyzyzx

（反序和小等于乱序

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

因为

和）（1）

xyzzxy

（反序和小等于乱序和）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

（2）所以(n2）（xyz

）

nxyzxnyzxynz

=（n

xyzxyz

）+2（）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

nxnynzyzx

）+（）

nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz

zxynxyznyzxnzxy+()=3nxyzxnyzxynznxyzxnyzxynz（故原不等式成立。

注：此题供题者所给的证明采用了换元的方法，有兴趣的读者可参见数学通报2007年第2期。当n0时，不等号应反向，即有同的特例。

xyz3

，请读者自证。另外，当n取不同值时可得到不yzxzxy2

222

anana12a21

a1a2an。例

4、设ai（1in）是正数，求证：

a2a3ana

1证明：将ai（1in）重小到大排列，设

aj1aj2aj3ajn1ajn

成立

11111（1jin,jiN，ji各不相同），则

ajnajn1aj3aj2aj1

可以利用排序不等式了。

222222

2aaaaanaa12a2jjnjj1nn112

所以

a2a3ana1aj1aj2ajn1ajn

。至此条件创造完毕，（乱序和大等于反序和），又因为

a2j1aj1



a2j2aj2



a2jn1ajn1



a2jnajn

aj1aj2ajn1ajna1a2an，故原不等式成立。

注：此题亦可用柯西不等式和均值不等式证明，请读者参考下面的例子。

2、利用柯西不等式 对于分式不等式

x

i1n

n

i

A，可在不等式左边乘上一个因式xi'2，这里要保证xixi'为整式，i

12n

'

2n

然后利用柯西不等式

xx

ii1

i1

i

(xixi')2给出证明。

i1

n

例

5、（24届全苏数学奥林匹克试题）设ai（1in）是正数，且有

a

i

1n

i

1，求证：

an2a12a221

。

a1a2a2a3ana1

2证明：利用柯西不等式得：

an2a12a22()[(2(a1a2an)] a1a2a2a3ana1

an2a12a22()[(a1a2)(a2a3)(ana1)]

a1a2a2a3ana1

222

22

2] =2

(a1a2an)21

an2a12a221

。所以

a1a2a2a3ana12

例

6、（2009年全国高中数学联赛福建赛区预赛）设a、b、c是三个正数，满足abc3，求证：

a1b1c

12。

a(a2)b(b2)c(c2)

证明：由柯西不等式得[

a1b1c1a(a2)b(b2)c(c2)

][]9，a(a2)b(b2)c(c2)a1b1c1

即[

a1b1c1111][abc3]9，a(a2)b(b2)c(c2)a1b1c1

a1b1c19，

a(a2)b(b2)c(c2)abc3111

a1b1c1

1119

故要证原不等式只要证明上式右边2，即证abc3，a1b1c1

21113即证abc。

a1b1c12

3因为abc3，故要证上式只要证：

a1b1c12

而事实上，由柯西不等式得：()(a1b1c1)9，a1b1c1

111993故()（abc3）

a1b1c1a1b1c1332

亦即

故原不等式成立。

注：原赛题由题（1）和题（2）两小题构成，此题是题（2）。在参考答案的证明中，题（2）的证明要用到题（1）的结论。本例要求直接证明题（2），从而增加了难度。本例的证明同时使用了分析法和柯西不等式，且用了两次柯西不等式，具有一定难度。

3、利用均值不等式 对于分式不等式

x

i

1n

i

A，可考虑添加xi'和xi配成一对，然后利用均值不等式xixi''

得到n

个不等式（一般来说要保证，然后将这n个不等式相加，消去添加的各项xi，最后得到证明。

a2b2c2abc

例

7、（第二届友谊杯国际数学邀请赛）已知a、b、c为正数。

bccaab2a2bca，证明：由均值不等式可得：

bc

4b2cac2ab

b，c，同理有：

ca4ab4a2bcb2cac2ab

将以上三式相加即可得：abc，bc4ca4ab4

整理后即可得结论。

注：此不等式的证明简洁，其中所用的添项技巧也是运用均值不等式的常见技巧之一。另外，用此法证明例5就要用到该技巧。

三、利用某些技巧

1、构造对偶式

例

8、利用构造对偶式这一技巧给出例5的另一个证明。

an2a12a2

2证明：设M，a1a2a2a3ana

1a32an2a22

N（对偶式），a1a2a2a3ana1

a32an2a12a22a22a12

)()()因为MN（a1a2a1a2a2a3a2a3ana1ana1

(ana1)0，所以MN。=(a1a2)(a2a3)

an2a12a12a22a22a32

所以2MMN

a1a2a2a3ana1

(a1a2)(a2a3)(ana1)a1a2an1（这里利用了不等式 222a2b21

(ab)），ab2

所以M，原不等式成立。2

注：利用对偶式这一技巧可以简洁的证明许多形式上很复杂的不等式，这里列举一例供读者思考：如

a3b3c3abc

果a、b、c是正数，证明：2。更多的构造对偶

aabb2b2bcc2c2caa2

3式证明不等式的例子请参见文[1]。

2、引入参数

例

9、设x、y、z0，且xyz

11。4z15

分析：此不等式是对称不等式，可考虑构造一个和为的表达式，故引入参数，尝试证明：5

1x，且。5

证明：引入参数

x。当x0时，有

x(0,1]都

成立。故要求的值，(0,1]上的最小值即可。

在(0,1]上的最小值为（此时x1），故当

时，有5x(0,1]），此时

同时有

11x（x[0,1]）x。

。取

y和z，将以上三式相加即可得结论。

54z15

注：本例引入的参数是作为项的系数引入的。另外，参数还可作为幂指数引入，作为直线斜率引入等，具体的例子可参见文[2]。

本文考虑了分式不等式的证明，对不太复杂的分式不等式的证明不应忘记采用最常用的分析法和综合法等方法进行；其次可考虑利用高中数学教科书中出现的三个重要不等式证明；在上述方法证明无效的情况下，可考虑采用一些技巧进行证明。由于分式不等式的证明方法灵活多样，故对其证明不应拘泥于上述思路和方法，但对于常见的分式不等式，上述方法是够用的。

参考文献：

[1]杨华.构造配对式，证明不等式[J].中等数学，2005（3），10～13 [2]程东军.巧引参数，证明不等式[J].中等数学，2007（9），5～8