证明不等式的基本方法—比较法_不等式证明的基本方法

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§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法

【学习目标】

能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】

1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.b

a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若

【自我检测】

1中最大的一个是 1x

A.aB.bC.cD.不能确定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=

3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是 ．．．ab

B.ab＜b2 A.a2＜b

2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab

4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a

【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”

变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式：；并且加以证明。

变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。

【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4

–“天下事，必作于细”