化为同分母循环和 证明一类分式不等式_分式不等式例题含答案

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本文发表于《中学数学研究》（南昌）2004年第12期

化为同分母循环和

证明一类分式不等式

215006苏州市第一中学刘祖希

分式不等式的证明难，其难点首先体现在如何去掉分母.本文将通过一些例子获得一个证明分式不等式的有效方法，并希望能成为一个通法：这就是将分式不等式的各部分巧妙地化为同分母循环和(即

A1)获证.下面详细予以说明.ABC

例1设a,b,c是正实数，且abc1，求证：

(1996年IMO37预选题)

证明：∵abc1,ababab（作差法易证）, 5522abbcca1.a5b5abb5c5bcc5a5ca

aba2b2c5∴5（齐次化）5522ababababc

a2b2cc, 2222abababcabc

同理，bca，55bcbcabc

cab，c5a5aabc

1111.333333ababcbcabccaabcabc三式相加即得原不等式，当且仅当abc1等号成立（考虑篇幅，等号成立条件以下略）.例2求证：对所有正实数a,b,c，有

（1997年美国数学奥林匹克试题）

证明：先证齐次不等式

33abcabcabc1.a3b3abcb3c3abcc3a3abc∵ababab（作差法易证），∴abcabcc，a3b3abcabababcabc

abca，b3c3abcabc

abcb，c3a3abcabc

abcabcabc1，三式相加得，333333ababcbcabccaabc同理，即1111.a3b3abcb3c3abcc3a3abcabc

abbcca.ababbcbccaca对例

2、例3的推广形式： 推广：设a,b,c是正实数，且abc1，记f

1，则f1；

21②若1或，则f1；2

1③若1，则f1.2①若1或

（《中学数学月刊》2002.12P40）

例3设ABC中，求证：abc2.bccaab

aa2a2a22a21； 证明：∵bcabacaabacabc

a2a，bcabc

b2b同理，caabc

c2c，ababc

abc2.三式相加，得bccaab

abc例4在ABC中，记f，试证： abcbcacab

2①当11时，有f； 

12②当1时，有f.1∴

(《中等数学》2002.4数学奥林匹克问题高115)

证明： 只要1，总有

1bca0

11bc1a0 2

11bc1a2b2c1a1a2b2c0

11abca2b2c0 

112a12a2b2c1abc0



12a0 abc1abc即1a1a

abc21a，1abc

∴ 1f1a

abc1b

bca1c

cab

212121abc 1abc1abc1abc

21, 1

21, 1

22；②当1时，有f.11即1f故①当11时，有f

注：例4中取0，即为例3.例5设0a,b,c1.证明：abc2.bc1ca1ab1

证明：∵2abc1aabc

abc1aabcbc1

abc1aab1c10 a2a，bc1abc

b2b同理，ca1abc

c2c，ab1abc

abc2.三式相加，得bc1ca1ab1∴

a2

例6在ABC中ma,mb,mc分别表示边a,b,c上的中线长，证明:22.2mbmc

（《中等数学》2003.4P18）

证明：由三角形中线长定理，mb212c22a2b2，

44a2a24a2m2m24a2b2c22a2a2b2a2c2

bc

4a2

22a2ab2ac

2a2, abc

a2

即22.2mbmc

至此，我们是否可以获得这样的启示：以上这些分式不等式都具有对称性，而且不等式的另一端多为常数，这就为我们统一处理、集中去分母提供了便利，同分母循环和的方法应运而生.例7设a,b,c是正实数，n是正整数，求证： anan1an1an

n1n1；②nn1n1.①nnnbcbcbcbc

(《中等数学》2001.3P23)

nn证明：①

∵bcbn1cn1（作差法易证），annan1∴



n

n1n1 nbcbc1an1

n1n1（车贝雪夫不等式）

3bcan1n1n1（三元均值不等式）bcan1

n1n1； bc

②类似①可得，an1n1an



bncn

bn1cn1

1an



n1n1 3bcann1n1 bcan

n1n1.bc