Minkowski不等式的证明(积分形式)_积分不等式的证明方法

Minkowski不等式的证明(积分形式)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“积分不等式的证明方法”。

闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明Lp空间是一个赋范向量空间

。设是一个 度量空间，那么

如果，等号成立

当且仅当，或者，我们有：

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：

对所有

实数，这里

是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。

值得指出的是，如果以变为。

积分形式的证明，则可

我们考虑的次幂：

（用三角形不等式展开）

用 赫尔德不等式（见下文）继续运算可得

（利用，因为）

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到

:

因为，我们最终得出：

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况，证明是完全类似的。

赫尔德（Holder）不等式

设ai,bi1in是2n个正实数，0,0,1,n

a则

i1



i

bi





aibii1i1

n

n

i

n



n



.[证明] 令Aa

i1,B

b

i1

i

那么



n

A



B



a

i1



i

bi



aibi

i1AB

n



lg

aiA

lg

biB

lg



ailg

bi

lg



ai

bi







aibi

利用Jensen不等式有AB

n



aiA



bi

B成立



i1

aibi

AB

n







n

i

aA

i1





n

i

bB

i1

1



即

a

i1



i

bi



AB



aibi,得证。

i1i1

n



n

易知积分形式也成立