4.2数学归纳法证明不等式_数学归纳法证明不等式

4.2数学归纳法证明不等式由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学归纳法证明不等式”。

二用数学归纳法证明不等式

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：

一、复习回顾：

1、数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位；

2、复习数学归纳法的定义和数学归纳法证题的基本步骤；

二、本节主要内容是用数学归纳法证明不等式；

在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：

（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）的变化，要认清不等式的结构

特征；

（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；

（3）活用起点的位置；

（4）有的题目需要先作等价变换。

三、例题

例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：将n1,2,3,4,5,6代入比较后猜想结论，而后用数学归纳法加以证明

证明：见书P50 ；要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).证明：（1）当n=1时，不等式显然成立；

（2）假设当n=k时不等式成立，即有：|sink|k|sin|，则当n=k+1时，|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||cos||cosk||sin||sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|即当n=k+1时，原不等式也成立；

由（1）（2）知，不等式对一切正整数n均成立；

例3：证明贝努利（Bernoulli）不等式：(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：（1）当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立；

（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，(1x)k1k(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当n=k+1时，原不等式也成立；

由（1）（2）知，贝努利不等式成立；

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)

当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1)

例

4、证明：如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann；

证明：（1）当n=1时，a1=1，命题显然成立；

（2）假设当n=k时命题成立，即若k个正数a1,a2,a3,ak的乘积a1a2a3ak1，那么他们的和

a1a2a3akk，则当n=k+1时，有k+1个正数a1,a2,a3,ak,ak1满足乘积a1a2a3akak11，若这k+1个正数相等，则它们都是1，其和为k+1，命题成立；

若这k+1个正数不全相等，则其中必有大于1的数，也有小于1的数，不妨设a1>1，a21，a2

a1a2a3akak1k1，即当n=k+1时，命题也成立；

由（1）（2）知，如果n(n为正整数)个正数a1,a2,a3,an的乘积a1a2a3an1，那么它们的和

a1a2a3ann；

思考：课本P53的探究

课堂练习：当n≥2时,求证

:1

2



证明：（1）当n2时，左式1

1

1.7

2右式，当n2时，不等式成立

（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1











右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

四、作业：课本P53 习题4.1中1，2，3，4，5，6