数列前n项和构成不等式证明方法与技巧_数列不等式证明方法

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数列前n项和构成不等式证明方法与技巧

安徽五河一中邢文举、杨梅玲

由数列前n项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用，不少学生对该题型束手无策，不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列an是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列an是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。

例

1、各项均为正数的等差数列an，a1=3前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=64，ban是公比为64的等比数列。

（1）求an、bn；

（2）证明1113 S1S2Sn4

解：（1）设an的公差为d，bn的分比为q（d>0,q>0）

则an=3+(n-1)dbn=q n-1

ban1qan11

an1qan1anqd64 banq

又b2S2=q(6+d)=64

可求得：d=2，q=8

∴an=2n+1，bn=8n-1

（2）由（1）知Sn=n(n+2)11111()Snn(n2)2nn2

1显然是可求和数列，先求和，再证明不等式

Sn

∴11111111111(1)()()() S1S2Sn232435nn2

1111113=(1)(1) 22n1n2224

∴原不等式对nN成立

例

2、等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上。

（1）求r的值；

（2）当b=2时设bnn11(nN)，数列bn的前n项和为Tn，证明Tn 4an2解：（1）由已知有Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r

∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1

又a1=b+ra2=(b-1)b ∴a2(b1)bb∴r=-1 a1br

（2）由b=2，故（1）有：an=2n-1bn=n1 n12

由于bn是可求和数列，先求和后证明不等式

Tn=b1+b2+b3+…+bn 234n1∴Tn234n1① 2222

123nn1Tn34n1n2② 22222

12111n1①-②得：Tn234n1n2 222222

3n3∴Tnn1 22

∵Tn为递增数列 ∴TnT1

∴Tn311 221对nN成立

221

31

n2(n11)（nN）例

3、证明不等式：1

1证明

（一）∵数列是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。n

∵

∴

11

21n2nn2n1n2(n1n)1

1

n2(21)(32)(4)(n1n)

=2（n11）∴11

21

1

n2(n11)对nN成立

（二）数学归纳法证明

（1）当n=1时，12(21)，即n=1不等式成立。

（2）假设当n=k(nN)时不等式成立 即：11

21

1

k2(k11)

当n=k+1时

11

21



k111k12(k11)1k11k1 =2k12(2k1)22 =4(k1)4124(k1)42 k1

=2((k1)11)

即n=k+1时，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式对nN均成立

例

4、已知数列an前n项和为Sn，点(n,Sn)在函数y=3x-1的图象上，bn=n(n1)an，bn前n项和为Bn，证明：Bn

解：由已知：Sn=3n-1

当n=1时，a1=3-1=2

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1

∴an=2×3n-1（nN）∴bnn(n1)23n1

法

（一），显然bn是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。∵bnn(n1)23n1=4n24n3n1(2n1)23n1

=(2n+1)×3n-1

∴Bn=b1+b2+b3+…+bn

令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1

由错位相减法可求得Tn=n×3n

∴Bn

（二）用数学归纳法证明：Bn

①当n=1时，B1=b1=2222

即n=1时，不等式成立

②假设当n=k+1时，不等式成立，即Bk

当n=k+1时）(k2)23k Bk+1=Bk+bk+1

(k1)(k2)23k 2k=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1

即n=k+1时不等式成立

由①②知：Bn

由以上例题可知，对于由数列an的前n项和Sn构成的不等式证明，首先考查an是否可求和，若能求和，先求出Sn再证明不等式，若不可求和，要么先将an进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然还可构造函数来证明，在这就不说了，希望通过本文，对同学们解答这类题有一定的启发。

2011.4.26