绝对不等式的证明_绝对值不等式的证明

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绝对不等式的证明

摘要：证明绝对不等式是数学基本知识的一部分，不等式的证明，就是证明所给定的不等式或对式中所含的字母的一切允许值都是成立的。证是不等式主要依靠二条，其一，是不等式的基本性质和一些重要不等式，其二，是证明不等式的一些常用方法。二者互相渗透。本文通过举例介绍几种证明的绝对不等式的方法。

关键词：绝对不等式，证明不等式的方法

1.用比较法证明不等式

比较法是证明不等式的常用法之一。它又分为计算插值和比值两种：

① 把所要正的不等式的左边的代数式减右边的代数式，再根据已知条件去证明这个差大于﹙或小于﹚零，这种证明法叫做计算差值法。

他的理论根据是：a≥b,﹙a≤b﹚a-b≥0﹙或a-b≤0﹚.② 当所要证明的不等式的两边的直皆正是，把左边的代数式除于右臂阿布的代数式，再根据已知条件去证明这个比值大于﹙或小于﹚1.这种正法叫做及钻比值法。他的理论依据是：当a＞0.b＞0 时，a≥b﹙a≤b﹚

例：已知a,b 皆正数求证： aa≥1（或≤1）。bb

ab≥ab（当且仅当a=b时，等号成立）。

2abab2ab证：∵a＞0.b＞0，则-ab==22

（其中等号当且仅当）a＝即a=b成立）

∴a22≥0 abab－ab≥0，即≥ab 22

2.用综合法和分析法证明不等式

证明绝对不等式的综合法是从题目的已知条件或已知成立的不等式出发，利用不等式的性质进行推导变形，进而得出所要求证的不等式。利用综合法的关键是熟知一些常用的不等式，通过变形将未知的不等式归结为常用不等式。如以下不等式是常用的：

a²+b²≥2ab,a+b／2≥ab,a³+b³+c³≥3abc(a,b,c∈R+)

a+b／2

≤a²+b²／2,a+b+c／3≤a²+b²+c²／3(a,b,c∈R+)

分析法是证明不等式的一种重要方法，用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证B得真，只需要证明命题B的真，从而又„„，只要证明A为真。现在已知A真，故B真。可见分析法事执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件，写出简要的形式为：

B

以上述的b

只需要证b（a+m）

两端约去ab，故只需

再证bm

因为已知m>0;

只需b

但是这是已知条件，故原不等式成立。

值得注意的是分析法不是等价证明，不应写成：

BB1B2„BnA

下面在举两例加以说明：

例1已知a>b>0，求证a-b

分析此题若从条件直接退出结论会有一定的难度。不妨用分析法从结论求证a-

由于a>b>0所以a->0，ab>0.只要证（a-）³

即要证a-3a2b+3ab2-b0 只要证b

由于a>b>0此不等式显然成立

所以原不等式成立。

例2已知a>0；b>0；2c>a+b，求证：

c-c2ab

分析要证c-c2ab

只要证-c2ab

即要证｜a-c｜

即要证（a-c）²

即要证a-2ac

因a>0，只需证a-ac

即a+b

故原命题成立。

3.用放缩法证明不等式

利用放缩法证明不等式的关键是找寻中间变量c；使得AC¹且C¹>A(这是缩小)下面举例加以说明

例3已知n为正整数，试证：

111）（1+）„（1+）>2n1／2 352n

1111分析令A=（1+）（1+）„（1+）352n1

462n=×„× 352n1（1+

由于不等式bbm>（b>a，a，b，m∈R+）得 aam

45672n22n12n2n1>，>，„，>，> 34562n32n22n12n

将这个同向不等式相乘得 572n12n1×ׄ×× 462n22n

45672n2n12n12n1A²>×××ׄ××=> 34562n12n34A>

故A>2n1／2

4.反证法在不等式证明中的应用

反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有着广泛的应用。用反证明不等式即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。它的步骤为：

假设结论的反面成立=>逻辑推理=>导出矛盾=>肯定结论。

下面举例加以说明

例4已知f(x)=x²+px+q求证：｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜中至少有一个不小于1 2分析此题从正面解决比较困难，可以用反证法，假设结论不成立，即｜f（1）｜，｜f（2）｜，｜f（3）｜都小于1。则有 2

1111f（1）｜

1111f（2）｜

1111f（3）｜

由于① ③得-119

此式于②式矛盾，这说明假设不成立，故原命题成立。

5.构造函式证明不等式

某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构成恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数法证明不等式关键是构造恰当的不等式。

例5已知a.b∈R,求证：

ab

1ab≤b

1a+a

1b

分析：从不等式的结构来看，易构造函数f(x)=

上是函数。因为ab≤ab,所以f(ab)≤f(ab)

从而有 x(x≥0)易证f(x)在R＋ 1x

ab

1ab

≤≤ab1aba =b1ab+a1ab b

1a+1b

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