3.4.1 基本不等式的证明_基本不等式的证明1

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3.4.1 基本不等式的证明（1）

江苏省靖江高级中学杨喜霞

教学目标：

一、知识与技能

1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；

2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

3．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握 定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

4．理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几 何解释．

二、过程与方法

1.通过实例探究抽象基本不等式；

2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础．两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．

三、情感、态度与价值观

1．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；

2．培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力．

教学重点：

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程． 教学难点：

理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵．

教学方法：

先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式；从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情；定理的证明要留给学

生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案．

教学过程：

一、问题情景

a

b

2ab2.的几何背景： 21.提问：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．

二、学生活动

问题1 我们把“风车”造型抽象成上图．在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

a2b2.问题2 那4个直角三角形的面积和呢？

生答 2ab.问题3 好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a2b22ab.什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即xy时，正方形EFGH变成一个点，这时有a2b22ab.三、建构数学

1．重要不等式：一般地，对于任意实数 a、b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立．

问题4：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明：a2b22ab(ab)2,当ab时，(ab)20,当ab时,(ab)20,所以a2b22ab

注意强调：当且仅当ab时, a2b22ab

注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；

（2）公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛．

问题5：将a降次为a,b降次为b,则由这个不等式可以得出什么结论？

2．基本不等式：对任意正数a、b，有

立．（学生讨论回答证明方法）

证法1：a

b11

222

0当且仅当222ab当且仅当ab时等号成2． ab时，取“”

a

b，只要证a

b，只要证0ab，ab只要证0

2成立，当且

2证法2



ab时，取“=”号．

证法3：对于正数a,b

有20，ab

0ab

说明： 把ab2a

ba,b的算术平均数和几何平均数，上述2

不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

注意：（1）基本不等式成立的条件是：a0,b0；

（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）；

（3）abab的几何解释：（如图1）以ab为直径作圆，在直径AB上

2取一点C，过C作弦DDAB，则CD2CACBab，从而CDab，而半abCDab

径2

abB 几何意义是：“半径不小于半弦”；

（图1）

（4）当且仅当ab时，取“”的含义：一方面是当ab时取等号，即 ab

ababab； ；另一方面是仅当a

b时取等号，即22

（5）如果a,bR，那么a2b22ab（当且仅当ab时取“”）；

（6）如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的2等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．

四、数学运用

1．例题．

ba1例1设a,b为正数，证明下列不等式成立：（1）2；（2）a2.aba

baba证明（1）∵a,b为正数，∴,也为正数，由基本不等式得2abab∴原不等式成立．

（2）∵a,立．

例2已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明 ∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，11均为正数，由基本不等式得a2，∴原不等式成a

a以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，所以，a2b2c2abbcca．

例3已知a,b,c,d都是正数，求证(abcd)(acbd)4abcd.证明 由a,b,c,d都是正数，得：

∴abcdacbd

0，0，22(abcd)(acbd)abcd，即(abcd)(acbd)4abcd.42．练习．

（1）已知x,y都是正数，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3；

（2）已知a,b,c都是正数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc；

（3）思考题：若x0，求x

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容： 1的最大值.x

1．算术平均数与几何平均数的概念；

2．基本不等式及其应用条件；

3．不等式证明的三种常用方法．

小结 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

六、课外作业

课后练习第2题、第3题；习题3.4第1题、第2题、第3题．