经典不等式证明柯西不等式排序不等式切比雪夫不等式均值不等式_切比雪夫不等式证明

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几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,an0是实数

aaa12n 

111n+a1a2an

其中ai0,i1,2,n.当且仅当a1a2an时，等号成立.n

（2）柯西不等式

设a1,a2,an,b1,b2,bn是实数，则

a

22a2anb12b22bn2a1b1a2b2anbn

当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在实数k，使得aikbi(i1,2,,n)时，等号成立.（3）排序不等式

设a1a2an，b1b2bn为两个数组，c1，c2，，cn是b1，b2,，bn的任一排列，则

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1 当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立.（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1a2an，b1b2bn，有

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bna1bna2bn1anb1



nnnn

当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立.二 相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn



nnn

na1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

而

a1a2anb1b2bna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b3a2b4anb2a1b4a2b5anb3

a1bn1a2bnanbn2

a1bna2b1anbn1

根据“顺序和乱序和”（在n1个部分同时使用），可得

na1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

即得

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn



nnn

同理，根据“乱序和反序和”，可得

a1a2anb1b2bna1bna2bn1anb1



nnn

综合即证

（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”

证明：构造两个数列：

a1a2an

n

aaaa1aa,x2122,xn12nn1 ccc

1c1c21cn

y1,y2,yn1

x1a1x2a1a2xna1a2an

x1

其中c

.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x1y1x2y2xnyn

总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有 ．．．．．．．．．

x1ynx2y1xnyn1x1y1x2y2xnyn

于是

aa1a2

n111 ccc

即

a1a2an

n

c

即证

a1a2an

cn

a1a2an（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”

：

n证明：不妨设a1a2an，222

a1a2ana1a2ana1a2ana1a2an

.

nnnn

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

n+a1a2an



a1a2an

n

证明：

n111+a1a2an



a1a2an

n

111

+a1a2ana1a2an

nn



111

aaa12na1a2an

1.n



不妨设a1a2an，则

111，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.anan1a1

（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式

证明：不妨设a1a2an，b1b2bn 由切比晓夫不等式，有

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

.nnn

由均值不等式，有

a1a2an

nb1b2bn

n所以

a1b1a2b2anbn



n

两边平方，即得a1b1a2b2anbna1a2an

b

22b2bn.即证.（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明



aa2ananaa21

证明

1中的ai换成.1

na

inn

两边取倒数，即得

+a1a2an