2.2直接证明与间接证明同步练习含答案详解_直接证明和间接证明

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2.2直接证明与间接证明

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件

Ｂ．必要条件

Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件

2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P1成立，欲证P1成立只需证P2成立，则P2是θ的一个（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件

4． 3.设a，b，c，d，m，nR，P

Q）Ａ．P≥QＢ．P≤Q

Ｃ．PQ

Ｄ．PQ

x

4.已知函数f(x)12，a，bRfab

，A2，Bf，Cfab

ab，则A，B，C的大小关系（）

Ａ．A≤B≤CＢ．A≤C≤B

Ｃ．B≤C≤A

Ｄ．C≤B≤A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．写出用三段论证明f(x)x3sinx(xR)为奇函数的步骤是．

6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为．

三、解答题(共70分)

7.（15分）设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a

3＋b3

＞a

2bab2

8.（20

分）设

32x2，求证：2x12x33x8

9．(20分)设a,b,c为任意三角形边长，Iabc,Sabbcca，试证：3SI

4S

10.（15分）在△ABC

(abc)(abc)3ab2

中，已知，且

Ac．判断B△ABC的形状．C

2.2直接证明与间接证明答题纸

得分：

一、选择题

二、填空题 5．6．

三、解答题 7.8.9.10.2.2直接证明与间接证明答案

一、选择题

1.A

2.A解析：∵欲证θ成立只需证P1成立，∴P1⇒θ.∵欲证P1成立只需证P2成立，∴P2⇒P1，∴P2⇒θ.∴P2是θ的一个充分条件.3.B 4.A

二、填空题

5.满足f(x)f(x)的函数是奇函数，大前提

f(x)(x)3sin(x)x3sinx(x3sinx)f(x)，小前提

所以f(x)x3sinx是奇函数．结论

6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心

三、计算题

7.解：证明一：(分析法)

要证a+b＞abab成立，只需证(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需证a-ab+b＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a-2ab+b＞0成立，即需证ab＞0成立。

3322

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以ab＞0显然成立，由此命题得证。

证明二：(综合法)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴ab＞0，即a-2ab+b＞0

亦即a-ab+b＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab即a+b＞abab，由此命题得证。

abab222)8．证明：由于a,bR时，(，得ab2(ab)223

那么，2x33x2(2x3153x)242x

2x1242x2(4x4242x)2x228

上述第一个不等式中等号成立的条件为：2x3153xx185[32,2] 故原不等式成立。

9.证明：由于I2

(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S

欲证3SI

4S，只需3Sa2b2c22S4S，只需证Sa2

b2

c2

2S，即abbccaa2

b2

c2

2ab2bc2ca； 只需证a2

b2

c2

abbcca且a2

b2

c2

2ab2bc2ca； 先看

a2b2c2abbcca，只需证2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20，显然，此式成立，再看a2

b2

c2

2ab2bc2ca，只需证a2

abacb2

abbcc2

bcca0； 只需证a(abc)b(bac)c(cba)0；

只需证abc且bca且cab，由于a,b,c为三角形边长，显然，结论成立； 故3SI

24S

10.解：∵ABC180°，∴sinCsin(AB)． 又2cosAsinBsinC，∴2cosAsinBsinAcosBcosAsinB，∴sin(AB)0．

又A与B均为△ABC的内角，∴AB． 又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，a2b2c2ab，又由余弦定理c2a2b22abcosC，得a2b2c22abcosC，∴2abcosCab，cosC，∴C60°． 又∵AB，∴△ABC为等边三角形．

即，