不等式的证明方法_基本不等式的证明方法

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中原工学院常用方法

1.1比较法（作差法）[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.例1 已知：a0，b0，求证：证明 ab2ab2ab.b)2abab2ab2ab2ab(a20，故得 1.2作商法

.在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断（大于1或小于1）.例2 设ab0，求证：aabbabba.证明 因为 ab0，所以 而

abaab1或

ab1来判断其大小，步骤一般为：

1，ab0.baababbabab1，故 aabbabba.1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.例3 求证：57115.证明 要证351941557115，即证1223516215，即

35215，41516，154，1516.由此逆推即得 57115.1.4综合法[2]

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证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：a，b同号，求证：证明 因为a，b同号，所以 则

ababba2.ab0，baabbaab0，ba2ba2,即 1.5反证法[3]

2.先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.例5 已知ab0，n是大于1的整数，求证：nanb.证明 假设 nanb，则 n即

baba1，1，故 ba，这与已知矛盾，所以nanb.1.6迭合法

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.例6 已知：a1a2an1，b1b2bn1，求证: a1b1a2b2anbn1.222222[4]证明 因为a1a2an1，b1b2bn1，所以 a1a2an1，b1b2bn1.由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2an***b1b2bn111,222中原工学院

所以原不等式获证.1.7放缩法[5]

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法.例7 求证： 21345656***000220.01.,则 证明 令pp2123412234225622999910000121232241999910000221110001110000,所以 p0.01.1.8数学归纳法[6]

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立.例8 已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1.证明（1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；（2）若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(ab)abkkkbk1a(ak1babk1)abkbk1

=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk，即ak1bk1akbabk成立.根据（1）、（2），anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立.1.9换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例9 已知：abc1，求证：abbcca13.中原工学院

证明 设a13t，b13at(tR)，则c13(1a)t，111111abbccatatat(1a)tt(1a)t33333313(1aa)t22

13,13所以 abbcca1.10三角代换法

.借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.例10 已知：a2b21，x2y21，求证：axby1.证明 设asin，则bcos；设xsin，则ycos 所以 axbysinsincoscoscos()1.1.11判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例11 设x,yR，且x2y21，求证：yax1a2.证明 设myax，则yaxm 代入x2y21中得 x2(axm)21，即(1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，即(2am)24(1a2)(m21)0，解得 m1a2，故yax1a2.1.12标准化法[8]

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)[7]的值越大（或不变）；当x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

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nf(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinx1x2xnnAB2.标准化定理：当AB为常数时，有sinAsinBsin证明：记ABC，则

f(x)sinAsinBsin22.AB2sinAsin(CA)sin2C2, 求导得 f(A)sin(C2A)，由f(A)0得 C2A，即AB.又由 f(A)cos(BA)0, 知f(A)的极大值点必在AB时取得.由于当AB时，f(A)0，故得不等式.同理，可推广到关于n个变元的情形.例12 设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin证明 由标准化定理得，当ABC时，sinA2sinB2sinA2sinC2B2sin12C2A2sinB2sinC218.，取最大值，8181故 sin1.13等式法

.应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为ABC的三边长，求证：

2ab2ac2bcabc222222444.12(abc)证明 由海伦公式SABC两边平方，移项整理得

16(SABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p.2ab2ac2bcabc222222444

而SABC0, 所以 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4.1.14分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基

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本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.例14 n2，且nN，求证：1证明 因为 11213112131nn(nn11).111n(11)111n23n

2324312n1n13n1nn23243n1nnnn1.所以 11.15构造法[9-10]

n(nn11).在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的.例15 已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2.证明 依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以 z12z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(xy)2axyIm(z1z2)z12222z22

故 b(x2y2)2axy1.16排序法[11]

利用排序不等式来证明某些不等式.2.排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn,其中t1,t2,,tn是1,2,,n的一个排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号.简记作：反序和乱序和同序和.例16 求证：a2b2c2d2abbccdda.证明 因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 a2b2c2d2abbccdda.1.17借助几何法[12]

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借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易.例17 已知：a,b,mR，且ab，求证：

ambmab.证明(如图1.17.1)以b为斜边，a为直角边作RtABC.延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn，所以 aABam

又CECF，即nm，所以

bACbnamabmambnb.EnFCbDmBaA

图1.17.1

中原工学院利用函数证明不等式

2.1函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的.例18 设xR，求证：4cos2x3sinx2证明 f(x)cos2x3sinx12sin当sinx3218.231x3sinx2sinx2

48时，f(x)max2;

481当sinx1时，f(x)min4.故 4cos2x3sinx22.2单调函数法[13-14]

当x属于某区间，有f(x)0，则f(x)单调上升；若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f(x)g(x),(x(a,b))即可.例 19 证明不等式

ex1x，x0.证明 设f(x)ex1x,则f(x)ex1.故当x0时，f(x)0,f严格递增；当x0,f(x)0,f18.严格递减.又因为f在x0处连续，则当x0时，f(x)f(0)0,从而证得

ex1x,x0

2.3中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的.中原工学院

例20 求证：sinxsinyxy.证明 设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos 故 sinxsiny(xy)cosxy.2.4利用拉格朗日函数

例 21 证明不等式

3(1a1b1c)13abc, 其中a,b,c为任意正实数.证明 设拉格朗日函数为对

L(x,y,z,)xyz(1x1y1z1r).对L求偏导数并令它们都等于0，则有

Lxyzx20，Lyzxy20，Lzxyx20，L1x1y1z1r0.由方程组的前三式，易的1x1y1zxyz.把它代入第四式，求出13r.从而函数L的稳定点为xyz3r,(3r)4.1x1y1z1r为了判断f(3r,3r,3r)(3r)3是否为所求条件极小值，我们可把条件看作隐函数zz(x,y)（满足隐函数定理条件），并把目标函数f(x,y,z)xyz(x,y)F(x,y)看作f与zz(x,y)的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：

zxzx22,zyzy22,Fxyzyzx2,Fyxzxzy2,中原工学院

F2yz3,Fzz2z22z3,xxx3xyyxxy2xz3Fyyy3.当xyz3r时，Fxx6rFyy,Fxy3r,F2xxFyyF27r20.xy由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式xyz(3r)3(x0,y0,z0,111xyz1r).令xa,yb,zc,则r(111abc)1,代入不等式有

abc[3(11a1b1c)]3

或 3(111ab1c)3abc(a0,b0,c0).中原工学院利用著名不等式证明

3.1利用均值不等式[15-16]

设a1,a2,,an是

n个正实数，则

a1a2anna1a2an，当且仅当

na1a2an时取等号.nn例22 证明柯西不等式(a22nibi)(ai)(b2i).i1i1i1证明 要证柯西不等式成立，只要证

nnn aa2ibiib2i（1）

i1i1i1nn令 a2iA2,b2iB2,（2）

i1i1n式中A0,B0,则（1）即 aibiABi1

naibi即

i1AB1（3）

a2b22211下面证不等式(3),有均值不等式，a1b1A2B2A2B22，2即

2a1b1a21ABA2b1B2，2a22b22a22a2ABA2b2nbna2同理

nB2，，ABA2bnB2.将以上各式相加，得

nn2na2ib2i(abi11ABii)2i2i1AB(4)

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根据（2），（4）式即

2AB(aibi)2.i1n因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得证.3.2利用柯西不等式[17-18]

n例23 设aiR，i1，2，„，n．求证：i11n2aiai．

ni12证明 由柯西不等式

nnnn2n22aiai1ai1nai．

i1i1i1i1i122两边除以n即得．

说明：两边乘以1n后开方得

1niani11n2iani1．当ai为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均． 3.3利用赫尔德不等式[19] 例24 设a,b为正常数，0xab2，nN，求证：

n22n22 nansinxcosx2bn22

n2bn2bn2aa22证明 n= sinxcosxn2 nnnsinxcosxsinxcosx2a nsinx2n2sinx22nn22bncosxn2cosx2nn2

即

asinxn= an2bn2

n2ancosxb2n2bn222

3.4利用詹森不等式[20] 例 25 证明不等式

abc(abc)3abc, 其中a,b,c均为正数.abc证明 设 f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数

f(x)lnx1,f(x)1x

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可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(abc3)13(f(a)f(b)f(c)),从而

abcabc3ln313(alnablnbclnc),即

(abccbc3)abaabc.又因3abcabc3,所以

abc(abc)3aabbcc.